Índice

Por tema

Espaços vetoriais e transformações lineares

• Motivação 1.1Três situações com a mesma estrutura
• Definição 1.2Espaço vetorial
• Nota 1.3Três comentários sobre a definição de espaço vetorial
• Nota 1.4Os três blocos de axiomas
• Lema 1.5Cancelamento
• Proposição 1.6Unicidade do vetor nulo e do simétrico
• Proposição 1.7Produto por zero e por \(-1\)
• Corolário 1.8Se \(\lambda v = 0\), então \(\lambda = 0\) ou \(v = 0\)
• Nota 1.9O axioma (M2) não é supérfluo
• Nota 1.10Ordem das demonstrações
• Proposição 1.11Não existe espaço vetorial com dois elementos
• Nota 1.12Dois elementos com escalares \(\{0,1\}\)
• Exemplo 1.13O espaço \(\R^n\)
• Exemplo 1.14Matrizes \(m\times n\)
• Exemplo 1.15Polinômios
• Exemplo 1.16\(\R\) como espaço vetorial
• Exemplo 1.17Espaço nulo
• Nota 1.18Polinômios de grau exatamente \(n\)
• Exemplo 1.19Funções de um conjunto em \(\R\)
• Nota 1.20\(\R^n\), matrizes e sequências como espaços de funções
• Exemplo 1.21Funções de classe \(C^k\)
• Exemplo 1.22Polinômios como funções
• Exemplo 1.23Soluções de \(y''+y=0\)
• Exemplo 1.24Sequências convergentes e sequências de Fibonacci
• Nota 1.25Verificação dos axiomas num subconjunto de \(\mathcal{F}(X,\R)\)
• Exemplo 1.26Operações em \(\R^2\) que não dão espaço vetorial
• Exemplo 1.27\(\R^2\) com a origem deslocada
• Exemplo 1.28Reais positivos com produto e potência
• Definição 1.29Combinação linear
• Nota 1.30Somas sem parênteses
• Exemplo 1.31Combinação linear em \(\R^3\)
• Exemplo 1.32\(\cos^2t\) é combinação linear de \(1\) e \(\cos2t\)
• Exemplo 1.33\(\sen t\) não é combinação linear de \(1\) e \(\cos t\)
• Nota 1.34Igualdade de funções, ponto a ponto
• Motivação 1.35Bijeções que transportam as operações
• Definição 1.36Transformação linear
• Proposição 1.37Propriedades básicas das transformações lineares
• Exemplo 1.38Multiplicação por uma matriz
• Exemplo 1.39A derivada é linear
• Exemplo 1.40A integral é linear
• Exemplo 1.41A avaliação num ponto é linear
• Exemplo 1.42Transposição e multiplicação à esquerda
• Exemplo 1.43O traço é linear
• Exemplo 1.44Rotação e projeção em \(\R^2\)
• Nota 1.45Uma transformação linear do plano deforma a malha
• Exemplo 1.46A translação não é linear
• Exemplo 1.47O determinante não é linear
• Exemplo 1.48O quadrado não é linear; as lineares \(\R\to\R\)
• Proposição 1.49A composta de transformações lineares é linear
• Exemplo 1.50Derivada e integral: \(D\circ J = \mathrm{Id}\), mas \(J\circ D\neq\mathrm{Id}\)
• Proposição 1.51\(\Lin(V,W)\) é um espaço vetorial
• Proposição 1.52Uma transformação linear fica determinada num conjunto gerador
• Proposição 1.53Transformação linear com valores dados em \(e_1,\ldots,e_n\)
• Corolário 1.54Toda transformação linear \(\R^n\to\R^m\) é multiplicação por uma matriz
• Exemplo 1.55Valores dados em \(e_1,e_2\): existe e é única
• Exemplo 1.56Valores dados em \((2,1)\) e \((-1,1)\): existe e é única
• Exemplo 1.57Valores incompatíveis: não existe
• Definição 1.58Núcleo e imagem
• Proposição 1.59As fibras de \(T\) são translações do núcleo
• Proposição 1.60\(T\) é injetora se e somente se \(\Nuc(T) = \{0\}\)
• Nota 1.61Sistemas lineares, antecipados
• Exemplo 1.62Núcleo e imagem da derivada
• Exemplo 1.63Núcleo e imagem de uma \(T_A:\R^3\to\R^2\)
• Exemplo 1.64Núcleo e imagem do traço
• Exemplo 1.65Deslocamentos nas sequências
• Definição 1.66Isomorfismo
• Proposição 1.67A inversa de um isomorfismo é linear
• Proposição 1.68Isomorfismo é uma relação de equivalência
• Exemplo 1.69\(\Pol{n}\iso\R^{n+1}\)
• Exemplo 1.70\(\Mat{m}{n}\iso\R^{mn}\)
• Exemplo 1.71Os espaços com operações exóticas são isomorfos aos usuais
• Exemplo 1.72\(\mathcal{M}_{2\times2}(\R)\iso \Pol{3}\)
• Nota 1.73O que quer dizer isomorfismo

Subespaços, geradores e bases

• Motivação 2.1O argumento que vira definição
• Definição 2.2Subespaço vetorial
• Proposição 2.3Critério de subespaço
• Exemplo 2.4Subespaços triviais
• Exemplo 2.5Retas e planos pela origem
• Exemplo 2.6Núcleo e imagem são subespaços
• Exemplo 2.7Matrizes simétricas e antissimétricas
• Exemplo 2.8Cadeias de subespaços de polinômios e de funções
• Exemplo 2.9Um conjunto dado por uma equação linear homogênea é um núcleo
• Exemplo 2.10Não-subespaço: falha a condição (i)
• Exemplo 2.11Não-subespaço: falha só a condição (ii)
• Exemplo 2.12Não-subespaço: falha só a condição (iii)
• Nota 2.13Subespaços e não-subespaços de \(\R^2\)
• Exercício 2.14Fechado por somas e diferenças é subespaço?
• Proposição 2.15A interseção de subespaços é subespaço
• Proposição 2.16Quando a união de dois subespaços é subespaço
• Definição 2.17Subespaço gerado
• Proposição 2.18\([A]\) é o menor subespaço que contém \(A\)
• Definição 2.19Soma de subespaços
• Proposição 2.20\(S_1+S_2\) é o menor subespaço que contém \(S_1\cup S_2\)
• Exemplo 2.21Soma de duas retas
• Exemplo 2.22Soma de dois planos de \(\R^3\): a decomposição não é única
• Exemplo 2.23Toda matriz é soma de uma simétrica e uma antissimétrica
• Definição 2.24Soma direta
• Proposição 2.25Caracterizações da soma direta
• Nota 2.26Basta testar a unicidade no zero
• Exemplo 2.27\(\R^2\) é soma direta de duas retas distintas
• Exemplo 2.28\(\Mat{n}{n} = \Simet\oplus\mathcal{A}\)
• Exemplo 2.29Funções pares e ímpares
• Nota 2.30Simétrica e antissimétrica, par e ímpar: a mesma conta
• Exemplo 2.31Uma soma que não é direta
• Nota 2.32Soma direta de três ou mais subespaços
• Proposição 2.33As projeções de uma soma direta
• Nota 2.34Decomposição do plano em duas retas oblíquas
• Exemplo 2.35A projeção sobre as matrizes simétricas
• Proposição 2.36Operadores idempotentes são projeções
• Definição 2.37Conjunto gerador
• Exemplo 2.38\(e_1,\ldots,e_n\) geram \(\R^n\)
• Exemplo 2.39Geradores de \(\Pol{n}\) e de \(\Mat{m}{n}\)
• Exemplo 2.40Três vetores que geram \(\R^2\), com um sobrando
• Exemplo 2.41\(\Poli\) não é finitamente gerado
• Lema 2.42Um vetor que é combinação dos demais pode ser retirado
• Motivação 2.43Relações lineares e vetores que sobram
• Definição 2.44Independência e dependência linear
• Proposição 2.45LI equivale a escrita única
• Proposição 2.46Uma lista é LD quando algum vetor é combinação dos demais
• Nota 2.47Independência linear em casos pequenos
• Exemplo 2.48\(e_1,\ldots,e_n\) são LI em \(\R^n\)
• Exemplo 2.49\(1,x,\ldots,x^n\) são LI em \(\Pol{n}\)
• Exemplo 2.50Uma lista “triangular” de polinômios é LI
• Exemplo 2.51Em \(\R^n\), testar independência é resolver um sistema homogêneo
• Lema 2.52Sistema homogêneo com mais incógnitas do que equações
• Lema 2.53Lema da troca
• Corolário 2.54Mais vetores do que geradores: a lista é LD
• Exemplo 2.55Quatro vetores num espaço gerado por três
• Definição 2.56Gerador minimal e LI maximal
• Teorema 2.57Gerador minimal, gerador LI e LI maximal são o mesmo
• Nota 2.58O que o teorema do gerador minimal não diz
• Exemplo 2.59\(1,\cos t,\sen t\) são LI
• Exemplo 2.60\(e^t,e^{2t}\) são LI
• Exemplo 2.61\(1,\cos^2t,\sen^2t\) são LD
• Exemplo 2.62\(1,t,t^2,\ldots\): uma família infinita LI
• Nota 2.63Pontos provam independência, não dependência
• Definição 2.64Base
• Proposição 2.65Base equivale a escrita única
• Definição 2.66Coordenadas numa base
• Proposição 2.67As coordenadas dão um isomorfismo com \(\R^n\)
• Nota 2.68Escolher uma base é escolher um isomorfismo com \(\R^n\)
• Exemplo 2.69A base canônica de \(\R^n\)
• Exemplo 2.70A base \((1,x,\ldots,x^n)\) de \(\Pol{n}\)
• Exemplo 2.71A base das matrizes elementares
• Exemplo 2.72Coordenadas numa base não canônica de \(\R^2\)
• Teorema 2.73De todo gerador finito extrai-se uma base
• Teorema 2.74Todas as bases têm o mesmo número de elementos
• Definição 2.75Dimensão
• Exemplo 2.76Dimensões de \(\R^n\), \(\Pol{n}\) e \(\Mat{m}{n}\)
• Exemplo 2.77Dimensão das matrizes simétricas e das antissimétricas
• Exemplo 2.78\(\Poli\) tem dimensão infinita
• Teorema 2.79Teorema do completamento
• Nota 2.80LI de um lado, geradores do outro, base no meio
• Corolário 2.81Em dimensão \(n\): \(n\) vetores LI, ou \(n\) geradores, formam base
• Corolário 2.82Dimensão de um subespaço
• Corolário 2.83Todo subespaço tem complementar
• Exemplo 2.84Completar dois vetores a uma base de \(\R^3\)
• Teorema 2.85Dimensão da soma de dois subespaços
• Corolário 2.86A soma é direta quando as dimensões se somam
• Exemplo 2.87Dois planos distintos pela origem em \(\R^3\) se cortam numa reta
• Exemplo 2.88As dimensões confirmam \(\Mat{n}{n} = \Simet\oplus\mathcal{A}\)
• Exemplo 2.89Em \(\R^4\), dois subespaços de dimensão \(3\) se intersectam
• Definição 2.90Produto cartesiano de espaços vetoriais
• Proposição 2.91Dimensão do produto; soma direta interna e externa
• Teorema 2.92Teorema do núcleo e da imagem
• Corolário 2.93Em dimensões iguais, injetora equivale a sobrejetora
• Corolário 2.94Dimensões diferentes: \(T\) não é injetora, ou não é sobrejetora
• Corolário 2.95Isomorfos se e somente se têm a mesma dimensão
• Exemplo 2.96Sistemas homogêneos: dimensão do espaço de soluções
• Exemplo 2.97Dimensão das matrizes de traço nulo
• Exemplo 2.98A derivada: núcleo e imagem contados
• Exemplo 2.99Uma dimensão difícil de calcular na mão

Matrizes e sistemas lineares

• Motivação 3.1Por que uma transformação linear tem matriz
• Definição 3.2Matriz de uma transformação linear
• Proposição 3.3\([T(v)]_C = [T]_{CB}\,[v]_B\)
• Exemplo 3.4A matriz da derivada em duas bases
• Exemplo 3.5A matriz da identidade
• Exemplo 3.6Matriz de uma transformação \(\mathcal{M}_{2\times2}(\R)\to\Pol{3}\)
• Teorema 3.7A matriz da composta é o produto das matrizes
• Nota 3.8Por que o produto de matrizes é definido assim
• Proposição 3.9\(\Lin(V,W)\iso\Mat{m}{n}\)
• Corolário 3.10\(T\) é isomorfismo se e somente se a sua matriz é invertível
• Exemplo 3.11Rotações e as fórmulas de adição
• Definição 3.12Matriz de mudança de base
• Proposição 3.13Mudança de coordenadas
• Teorema 3.14Mudança de base de um operador: \([T]_{B'B'} = P^{-1}[T]_{BB}P\)
• Definição 3.15Matrizes semelhantes
• Corolário 3.16Matrizes semelhantes representam o mesmo operador
• Exemplo 3.17Mudança de base em \(\Pol{2}\): um exemplo completo
• Nota 3.18Quando a matriz de um operador é diagonal
• Definição 3.19Sistema linear
• Nota 3.20Duas leituras de um sistema: por linhas e por colunas
• Proposição 3.21\(AX=b\) tem solução quando \(b\) está na imagem de \(T_A\)
• Teorema 3.22O conjunto solução é \(X_0+N(A)\)
• Definição 3.23Posto de uma matriz
• Corolário 3.24\(\dim N(A) = n-\posto A\): a dimensão do conjunto solução
• Corolário 3.25Mais incógnitas do que equações: há solução não trivial
• Definição 3.26Operações elementares
• Proposição 3.27Operações elementares não alteram o conjunto solução
• Nota 3.28Operações elementares como multiplicação por matrizes
• Definição 3.29Forma escada
• Teorema 3.30Toda matriz tem uma forma escada reduzida
• Proposição 3.31Os pivôs contam o posto
• Teorema 3.32Critério de compatibilidade pela forma escada
• Nota 3.33O que se lê na forma escada reduzida
• Teorema 3.34Posto por linhas é igual a posto por colunas
• Corolário 3.35\(\posto A = \posto A^t\) e \(\posto A\leq\min\{m,n\}\)
• Proposição 3.36Inversa por escalonamento
• Exemplo 3.37Um sistema resolvido por completo
• Exemplo 3.38Discussão de um sistema com parâmetro
• Exemplo 3.39As duas descrições de um subespaço: geradores e equações
• Nota 3.40O teorema do núcleo e da imagem em quatro roupas
• Nota 3.41Verdadeiro ou falso: como decidir
• Nota 3.42Um zoológico de contra-exemplos
• Nota 3.43Quatro esqueletos de demonstração
• Exercício 3.44Vetores dois a dois LI formam uma lista LI?
• Exercício 3.45Toda base de \(\mathcal{M}_{2\times2}(\R)\) contém uma matriz invertível?
• Exercício 3.46Existe \(T:\R^5\to\R^5\) com \(\Nuc(T) = \Ima(T)\)?
• Exercício 3.47Existe \(T:\Pol{3}\to\Pol{3}\) com \(\Nuc(T) = \Ima(T)\)?

Determinantes

• Motivação 4.1Um número que decide a invertibilidade
• Definição 4.2Formas \(n\)-lineares alternadas
• Proposição 4.3Propriedades das formas \(n\)-lineares alternadas
• Definição 4.4Permutações e sinal
• Teorema 4.5Unicidade da forma \(n\)-linear alternada
• Teorema 4.6Existência do determinante: a fórmula de Leibniz
• Exemplo 4.7O determinante \(2\times2\)
• Exemplo 4.8O determinante \(3\times3\): regra de Sarrus
• Nota 4.9A fórmula de Leibniz não serve para calcular
• Proposição 4.10Operações de coluna e o determinante
• Teorema 4.11\(\det A\neq0\) equivale a \(A\) invertível
• Proposição 4.12Determinante de uma matriz triangular
• Teorema 4.13\(\det A^t = \det A\)
• Corolário 4.14O que vale para colunas vale para linhas
• Nota 4.15O determinante é volume com sinal
• Nota 4.16Em \(\R^3\): volume nulo equivale a vetores coplanares
• Nota 4.17A unicidade do determinante é uma ferramenta
• Definição 4.18Menor e cofator
• Lema 4.19Determinante com \(1\) no canto
• Teorema 4.20Desenvolvimento de Laplace
• Teorema 4.21\(\det(AB) = \det A\cdot\det B\)
• Corolário 4.22Determinante da inversa e de uma conjugada
• Definição 4.23Determinante de um operador
• Proposição 4.24\(T\) é isomorfismo se e somente se \(\det T\neq0\)
• Definição 4.25Matriz adjunta
• Teorema 4.26\(A\cdot\mathrm{adj}\,A = (\det A)\,I\)
• Corolário 4.27Regra de Cramer
• Proposição 4.28Determinante de uma matriz triangular por blocos
• Exemplo 4.29Vandermonde e interpolação
• Exemplo 4.30O determinante da transposição
• Exemplo 4.31O determinante da multiplicação à esquerda
• Exercício 4.32\(AB = I\) implica \(BA = I\)?
• Exercício 4.33\(A^2 = A\) e \(A\neq I\) implicam \(\det A = 0\)?

Dualidade e quocientes

• Motivação 5.1O caso \(W=\R\) de \(\Lin(V,W)\)
• Definição 5.2Funcional linear e espaço dual
• Exemplo 5.3Funcionais em \(\R^n\) são vetores-linha
• Exemplo 5.4Funcionais em \(\Pol{n}\)
• Exemplo 5.5Funcionais em \(\Mat{n}{n}\)
• Exemplo 5.6Um funcional em \(C^0([0,1])\)
• Proposição 5.7Dimensão do dual; o núcleo de um funcional não nulo
• Definição 5.8Base dual
• Teorema 5.9A base dual dá as coordenadas
• Nota 5.10\(v_1^*\) depende de toda a base, e não só de \(v_1\)
• Proposição 5.11Cálculo da base dual em \(\R^n\)
• Exemplo 5.12Uma base dual em \(\R^3\)
• Proposição 5.13Polinômios de Lagrange: a base dual das avaliações
• Exemplo 5.14Regra de Simpson
• Definição 5.15Transposta de uma transformação linear
• Proposição 5.16Propriedades da transposta
• Teorema 5.17A matriz da transposta é a transposta da matriz
• Corolário 5.18\((AB)^t = B^tA^t\)
• Exemplo 5.19A transposta em \(\R^n\), com vetores-linha
• Nota 5.20\(V\iso V^*\) depende de escolha
• Definição 5.21Duplo dual e aplicação de avaliação
• Lema 5.22Os funcionais separam pontos
• Teorema 5.23\(V\) e \(V^{**}\) são isomorfos sem escolha
• Definição 5.24Anulador
• Proposição 5.25Dimensão do anulador
• Corolário 5.26Todo hiperplano é o núcleo de um funcional
• Nota 5.27O anulador em \(\R^n\) são as equações
• Exemplo 5.28Equações de um subespaço de \(\R^4\) pelo anulador
• Nota 5.29O anulador de uma reta de \(\R^3\): um leque de planos
• Proposição 5.30O anulador troca soma e interseção
• Corolário 5.31\((S^0)^0 = S\)
• Nota 5.32O dicionário entre subespaços e anuladores
• Teorema 5.33Os quatro subespaços de uma transformação linear
• Corolário 5.34Posto por linhas é igual a posto por colunas, pelo dual
• Corolário 5.35Alternativa de Fredholm
• Exemplo 5.36A alternativa de Fredholm num sistema \(3\times2\)
• Exercício 5.37Se \(T(S)\subset S\), então \(T^*(S^0)\subset S^0\)?
• Motivação 5.38Identificar vetores cuja diferença está num subespaço
• Definição 5.39Classes módulo um subespaço; o conjunto \(V/S\)
• Lema 5.40Congruência módulo \(S\) é uma relação de equivalência
• Proposição 5.41\(V/S\) é um espaço vetorial; a projeção \(\pi\)
• Proposição 5.42Dimensão do quociente: \(\dim V/S = \dim V-\dim S\)
• Exemplo 5.43\(\R^3\) módulo uma reta e módulo um plano
• Exemplo 5.44Polinômios módulo as constantes
• Exemplo 5.45Reduzir o representante em \(\R^4/S\)
• Teorema 5.46Propriedade universal do quociente
• Exemplo 5.47A derivada no quociente pelas constantes
• Teorema 5.48Teorema do isomorfismo: \(V/\Nuc(T)\iso\Ima(T)\)
• Corolário 5.49O teorema do núcleo e da imagem, pelo quociente
• Exemplo 5.50Matrizes módulo as de traço nulo
• Exemplo 5.51Polinômios módulo os que se anulam em \(a\)
• Exemplo 5.52\(\R^3/[(1,-1,1)]\iso\R^2\)
• Proposição 5.53Todo complementar de \(S\) é isomorfo a \(V/S\)
• Corolário 5.54Segundo teorema do isomorfismo
• Proposição 5.55\((V/S)^*\iso S^0\)
• Proposição 5.56Operador induzido no quociente e matriz em blocos
• Exercício 5.57Subespaços de mesma dimensão têm quocientes isomorfos?
• Exercício 5.58Quocientes isomorfos implicam subespaços iguais?

Produto interno

• Motivação 6.1A estrutura que faltava para escolher
• Definição 6.2Produto interno, norma e ortogonalidade
• Exemplo 6.3O produto escalar de \(\R^n\)
• Exemplo 6.4Produto interno de matrizes: \(\tr(A^tB)\)
• Exemplo 6.5Produto interno de funções: a integral do produto
• Exemplo 6.6Um produto interno em \(\R^2\) que não é o usual
• Exemplo 6.7Bilinear e simétrica, mas não positiva
• Proposição 6.8Pitágoras
• Teorema 6.9Desigualdade de Cauchy–Schwarz
• Corolário 6.10Desigualdade triangular
• Definição 6.11Ângulo entre dois vetores
• Exemplo 6.12O ângulo entre \(1\) e \(t^2\)
• Definição 6.13Listas ortogonais e ortonormais
• Proposição 6.14Vetores ortogonais não nulos são LI
• Proposição 6.15Coordenadas numa base ortonormal
• Corolário 6.16Mudança entre bases ortonormais: matrizes ortogonais
• Teorema 6.17Gram–Schmidt
• Corolário 6.18Existência de base ortonormal
• Exemplo 6.19Gram–Schmidt em \(\R^3\)
• Exemplo 6.20Polinômios de Legendre
• Definição 6.21Complemento ortogonal
• Teorema 6.22\(V = S\oplus S^\perp\)
• Exemplo 6.23Em \(\R^n\), \(S^\perp\) é o espaço solução de um sistema
• Exemplo 6.24Matrizes simétricas e antissimétricas são ortogonais
• Exemplo 6.25O complemento ortogonal das constantes em \(\Pol{2}\)
• Definição 6.26Projeção ortogonal
• Proposição 6.27Fórmula da projeção ortogonal
• Teorema 6.28A projeção ortogonal é a melhor aproximação
• Exemplo 6.29A melhor aproximação de \(t^3\) por polinômios de grau \(\leq1\)
• Teorema 6.30Mínimos quadrados: as equações normais
• Exemplo 6.31A reta que melhor ajusta quatro pontos
• Proposição 6.32Determinante de Gram
• Exemplo 6.33A matriz de Gram de três vetores de \(\R^3\)
• Teorema 6.34Teorema de Riesz: \(V\iso V^*\) pelo produto interno
• Teorema 6.35Existência e unicidade da adjunta
• Proposição 6.36A matriz da adjunta em bases ortonormais
• Proposição 6.37Núcleo e imagem da adjunta
• Definição 6.38Operador auto-adjunto
• Exemplo 6.39Projeções ortogonais são auto-adjuntas
• Exemplo 6.40A derivada nos polinômios trigonométricos é antiadjunta
• Exemplo 6.41Operadores ortogonais
• Nota 6.42Dicionário: subespaços, dual e produto interno

Formas multilineares e sequências exatas

• Motivação 7.1Funções de vários vetores, lineares em cada um
• Definição 7.2Formas bilineares
• Proposição 7.3Matriz de uma forma bilinear
• Proposição 7.4Formas simétricas e alternadas
• Exemplo 7.5O produto interno como forma bilinear
• Exemplo 7.6A forma alternada \(\det(x\ y)\) em \(\R^2\)
• Exemplo 7.7O produto de dois funcionais e a sua parte alternada
• Definição 7.8Formas \(k\)-lineares alternadas
• Proposição 7.9Propriedades das formas alternadas
• Definição 7.10Produto exterior de funcionais
• Proposição 7.11O produto exterior é alternado e detecta dependência linear
• Teorema 7.12Base e dimensão de \(\Alt^k(V)\)
• Corolário 7.13\(\dim\Alt^n(V) = 1\): toda forma de grau máximo é múltiplo do determinante
• Exemplo 7.14\(\Alt^2(\R^3)\) e o produto vetorial
• Exemplo 7.15Uma forma de grau \(2\) que não é produto de dois funcionais
• Exercício 7.16Em dimensão ímpar, toda forma alternada tem \(v\neq0\) com \(\omega(v,\cdot)=0\)?
• Exercício 7.17Em dimensão par, toda forma alternada tem \(v\neq0\) com \(\omega(v,\cdot)=0\)?
• Definição 7.18Pullback de uma forma por um operador
• Proposição 7.19O pullback é linear e inverte a composição
• Teorema 7.20\(T\) age em \(\Alt^n(V)\) multiplicando por \(\det T\)
• Definição 7.21Contração por um vetor
• Proposição 7.22\(\iota_v\circ\iota_v = 0\): a contração forma um complexo
• Definição 7.23Complexos e sequências exatas
• Proposição 7.24Sequências exatas curtas
• Exemplo 7.25A sequência exata de um quociente
• Exemplo 7.26A sequência exata do núcleo e da imagem
• Exemplo 7.27A sequência exata de um produto cartesiano
• Exemplo 7.28A sequência exata das matrizes simétricas e antissimétricas
• Nota 7.29O teorema do núcleo e da imagem em seis roupas
• Exercício 7.30Numa sequência exata curta, \(V\iso U\times W\)?
• Definição 7.31Cohomologia de um complexo
• Teorema 7.32Característica de Euler de um complexo
• Exercício 7.33Soma alternada das dimensões nula implica exatidão?
• Proposição 7.34O complexo da contração em \(\R^3\) é exato

Autovalores e diagonalização

• Definição 8.1Autovalor, autovetor e autoespaço
• Proposição 8.2O autoespaço é um subespaço; \(V_0 = \Nuc(T)\)
• Motivação 8.3Onde a flecha não gira
• Exemplo 8.4Reflexão: autovalores \(1\) e \(-1\)
• Exemplo 8.5Projeção: autovalores \(1\) e \(0\)
• Exemplo 8.6Rotação: nenhum autovalor real
• Exemplo 8.7Cisalhamento: um só autoespaço
• Nota 8.8Quatro operadores de \(\R^2\) e os seus autoespaços
• Proposição 8.9\(\lambda\) é autovalor se e somente se \(\det(T-\lambda I) = 0\)
• Definição 8.10Polinômio característico
• Proposição 8.11O polinômio característico: grau, traço e determinante
• Exemplo 8.12Autovalores e autoespaços de uma matriz \(2\times2\)
• Exemplo 8.13Autovalores e autoespaços de uma matriz \(3\times3\)
• Nota 8.14Autovalores reais são as raízes reais de \(p_T\)
• Teorema 8.15Autovetores de autovalores distintos são LI
• Corolário 8.16No máximo \(n\) autovalores; a soma dos autoespaços é direta
• Proposição 8.17Polinômios em \(T\) e autovalores
• Corolário 8.18Autovalores de operadores nilpotentes, idempotentes e involuções
• Exemplo 8.19Os autoespaços da transposição
• Exemplo 8.20Dois operadores que derivam: \(D\) e \(x\,D\)
• Exemplo 8.21A rotação não tem autovalor real
• Definição 8.22Operador diagonalizável
• Teorema 8.23Critério de diagonalização
• Corolário 8.24\(n\) autovalores distintos bastam para diagonalizar
• Nota 8.25Um operador diagonalizável estica cada eixo próprio
• Definição 8.26Multiplicidade algébrica e multiplicidade geométrica
• Proposição 8.27\(1\leq\mathrm{mg}\leq\mathrm{ma}\)
• Corolário 8.28Diagonalizável: raízes reais e \(\mathrm{mg} = \mathrm{ma}\)
• Exemplo 8.29Uma matriz \(2\times2\) que não é diagonalizável
• Exemplo 8.30Uma matriz \(3\times3\) diagonalizável com autovalor duplo
• Exemplo 8.31Raízes reais, mas não diagonalizável
• Proposição 8.32Potências de uma matriz diagonalizável
• Exemplo 8.33Potências, inversa e raízes quadradas por diagonalização
• Exemplo 8.34Fibonacci por diagonalização
• Exercício 8.35Multiplicidade algébrica \(1\) implica autoespaço de dimensão \(1\)?
• Exercício 8.36Autoespaço de dimensão \(1\) implica multiplicidade algébrica \(1\)?
• Motivação 8.37Quando não dá para diagonalizar
• Definição 8.38Subespaço invariante
• Exemplo 8.39Núcleo, imagem e autoespaços são invariantes
• Exemplo 8.40Uma reta é invariante quando é gerada por um autovetor
• Exemplo 8.41Interseção e soma de invariantes são invariantes
• Exemplo 8.42Para a derivada, cada \(\Pol{k}\) é invariante
• Proposição 8.43Subespaço invariante: matriz em blocos e fatoração de \(p_T\)
• Exemplo 8.44Os subespaços invariantes de quatro operadores de \(\R^2\)
• Proposição 8.45Somas diretas invariantes e projeções
• Proposição 8.46Operadores que comutam
• Exemplo 8.47Diagonalizáveis que não comutam, sem autovetor comum
• Exemplo 8.48Comutar não basta para ter um autovetor real comum
• Exemplo 8.49Rotação com dilatação: a matriz de \(a+ib\)
• Teorema 8.50Uma raiz complexa de \(p_A\) dá um plano invariante
• Corolário 8.51Todo operador real tem um invariante de dimensão \(1\) ou \(2\)
• Exemplo 8.52Autovalores \(2\pm i\): uma rotação numa base torta
• Nota 8.53Escalares complexos
• Teorema 8.54Triangularização
• Corolário 8.55Traço e determinante: soma e produto das raízes de \(p_T\)
• Exemplo 8.56Cayley–Hamilton para matrizes \(2\times2\)
• Teorema 8.57Teorema de Cayley–Hamilton
• Nota 8.58Uma “demonstração” falsa de Cayley–Hamilton
• Corolário 8.59Potências e inversa como polinômios em \(A\)
• Exemplo 8.60A inversa de uma matriz \(3\times3\) por Cayley–Hamilton
• Exemplo 8.61Potências da matriz de Fibonacci
• Teorema 8.62Polinômio mínimo
• Exemplo 8.63Polinômio mínimo da identidade, de idempotentes e de nilpotentes
• Exemplo 8.64Mesmo polinômio característico, polinômios mínimos diferentes
• Teorema 8.65Diagonalizável se e somente se \(m_T\) tem raízes reais simples
• Corolário 8.66Involuções e projeções são diagonalizáveis
• Exercício 8.67Todo operador idempotente é diagonalizável?
• Exercício 8.68Se \(T^2\) é diagonalizável, então \(T\) é diagonalizável?

Teorema espectral e formas quadráticas

• Lema 9.1As raízes de \(p_A\) são reais quando \(A\) é simétrica
• Lema 9.2Auto-adjunto: autovetores de autovalores distintos são ortogonais
• Lema 9.3Auto-adjunto: se \(S\) é invariante, \(S^\perp\) também é
• Nota 9.4Como a auto-adjunção remove os dois obstáculos
• Teorema 9.5Teorema espectral
• Proposição 9.6Quociente de Rayleigh: o maior e o menor autovalor
• Proposição 9.7Um autovetor real pelo máximo de \(\langle Tv,v\rangle\)
• Exemplo 9.8Diagonalização ortogonal com um autovalor duplo
• Proposição 9.9Propriedades das matrizes ortogonais
• Teorema 9.10Toda rotação de \(\R^3\) tem um eixo
• Nota 9.11A forma geral de uma matriz ortogonal
• Definição 9.12Forma quadrática
• Proposição 9.13A forma quadrática determina a forma bilinear
• Exemplo 9.14A matriz de uma forma quadrática
• Definição 9.15Matrizes congruentes
• Teorema 9.16Redução de uma forma quadrática a soma de quadrados
• Exemplo 9.17Redução de \(5x^2-4xy+8y^2\)
• Construção 9.18Redução de Sylvester por completamento de quadrados
• Nota 9.19As três formas reduzidas de \(\R^2\)
• Teorema 9.20Lei de inércia de Sylvester
• Definição 9.21Assinatura de uma forma quadrática
• Corolário 9.22Assinatura, autovalores e congruência
• Proposição 9.23Formas positivas definidas: cinco caracterizações
• Exemplo 9.24A assinatura de \(2xy+2yz+2zx\)
• Exemplo 9.25Diagonal e determinante positivos não bastam
• Proposição 9.26Diagonalização simultânea de duas formas quadráticas
• Exercício 9.27Mesma assinatura implica mesmos autovalores?
• Exercício 9.28Mesmos autovalores implicam mesma assinatura?
• Definição 9.29Cônicas e quádricas
• Construção 9.30Redução de uma cônica ou quádrica: rotação e translação
• Proposição 9.31O tipo da cônica \(q=1\) pelo determinante e pelo traço
• Exemplo 9.32Uma elipse: \(5x^2-4xy+8y^2 = 36\)
• Exemplo 9.33Uma parábola: \(x^2+2xy+y^2-2x+2y-3 = 0\)
• Exemplo 9.34Uma hipérbole: \(x^2-y^2+2x+4y-4 = 0\)
• Exemplo 9.35Um par de retas paralelas: \(x^2+4xy+4y^2-6x-12y+8 = 0\)
• Nota 9.36Quatro cônicas lado a lado
• Nota 9.37Quádricas pela assinatura
• Exemplo 9.38Um cilindro elíptico: \(x^2+y^2+z^2+2xy = 1\)
• Exemplo 9.39Um hiperboloide de duas folhas: \(xy+yz+zx = 1\)
• Exemplo 9.40Um hiperboloide de uma folha: \(x^2+y^2-z^2 = 1\)
• Exemplo 9.41Um cone: \(x^2+y^2-z^2 = 0\)
• Exemplo 9.42Um elipsoide: \(x^2+2y^2+3z^2-2xz = 1\)
• Nota 9.43Onde a álgebra linear reaparece

Por tipo

Definição

• 1.2Espaço vetorial
• 1.29Combinação linear
• 1.36Transformação linear
• 1.58Núcleo e imagem
• 1.66Isomorfismo
• 2.17Subespaço gerado
• 2.19Soma de subespaços
• 2.2Subespaço vetorial
• 2.24Soma direta
• 2.37Conjunto gerador
• 2.44Independência e dependência linear
• 2.56Gerador minimal e LI maximal
• 2.64Base
• 2.66Coordenadas numa base
• 2.75Dimensão
• 2.90Produto cartesiano de espaços vetoriais
• 3.12Matriz de mudança de base
• 3.15Matrizes semelhantes
• 3.19Sistema linear
• 3.2Matriz de uma transformação linear
• 3.23Posto de uma matriz
• 3.26Operações elementares
• 3.29Forma escada
• 4.18Menor e cofator
• 4.2Formas \(n\)-lineares alternadas
• 4.23Determinante de um operador
• 4.25Matriz adjunta
• 4.4Permutações e sinal
• 5.15Transposta de uma transformação linear
• 5.2Funcional linear e espaço dual
• 5.21Duplo dual e aplicação de avaliação
• 5.24Anulador
• 5.39Classes módulo um subespaço; o conjunto \(V/S\)
• 5.8Base dual
• 6.11Ângulo entre dois vetores
• 6.13Listas ortogonais e ortonormais
• 6.2Produto interno, norma e ortogonalidade
• 6.21Complemento ortogonal
• 6.26Projeção ortogonal
• 6.38Operador auto-adjunto
• 7.10Produto exterior de funcionais
• 7.18Pullback de uma forma por um operador
• 7.2Formas bilineares
• 7.21Contração por um vetor
• 7.23Complexos e sequências exatas
• 7.31Cohomologia de um complexo
• 7.8Formas \(k\)-lineares alternadas
• 8.1Autovalor, autovetor e autoespaço
• 8.10Polinômio característico
• 8.22Operador diagonalizável
• 8.26Multiplicidade algébrica e multiplicidade geométrica
• 8.38Subespaço invariante
• 9.12Forma quadrática
• 9.15Matrizes congruentes
• 9.21Assinatura de uma forma quadrática
• 9.29Cônicas e quádricas

Teorema

• 2.57Gerador minimal, gerador LI e LI maximal são o mesmo
• 2.73De todo gerador finito extrai-se uma base
• 2.74Todas as bases têm o mesmo número de elementos
• 2.79Teorema do completamento
• 2.85Dimensão da soma de dois subespaços
• 2.92Teorema do núcleo e da imagem
• 3.14Mudança de base de um operador: \([T]_{B'B'} = P^{-1}[T]_{BB}P\)
• 3.22O conjunto solução é \(X_0+N(A)\)
• 3.30Toda matriz tem uma forma escada reduzida
• 3.32Critério de compatibilidade pela forma escada
• 3.34Posto por linhas é igual a posto por colunas
• 3.7A matriz da composta é o produto das matrizes
• 4.11\(\det A\neq0\) equivale a \(A\) invertível
• 4.13\(\det A^t = \det A\)
• 4.20Desenvolvimento de Laplace
• 4.21\(\det(AB) = \det A\cdot\det B\)
• 4.26\(A\cdot\mathrm{adj}\,A = (\det A)\,I\)
• 4.5Unicidade da forma \(n\)-linear alternada
• 4.6Existência do determinante: a fórmula de Leibniz
• 5.17A matriz da transposta é a transposta da matriz
• 5.23\(V\) e \(V^{**}\) são isomorfos sem escolha
• 5.33Os quatro subespaços de uma transformação linear
• 5.46Propriedade universal do quociente
• 5.48Teorema do isomorfismo: \(V/\Nuc(T)\iso\Ima(T)\)
• 5.9A base dual dá as coordenadas
• 6.17Gram–Schmidt
• 6.22\(V = S\oplus S^\perp\)
• 6.28A projeção ortogonal é a melhor aproximação
• 6.30Mínimos quadrados: as equações normais
• 6.34Teorema de Riesz: \(V\iso V^*\) pelo produto interno
• 6.35Existência e unicidade da adjunta
• 6.9Desigualdade de Cauchy–Schwarz
• 7.12Base e dimensão de \(\Alt^k(V)\)
• 7.20\(T\) age em \(\Alt^n(V)\) multiplicando por \(\det T\)
• 7.32Característica de Euler de um complexo
• 8.15Autovetores de autovalores distintos são LI
• 8.23Critério de diagonalização
• 8.50Uma raiz complexa de \(p_A\) dá um plano invariante
• 8.54Triangularização
• 8.57Teorema de Cayley–Hamilton
• 8.62Polinômio mínimo
• 8.65Diagonalizável se e somente se \(m_T\) tem raízes reais simples
• 9.10Toda rotação de \(\R^3\) tem um eixo
• 9.16Redução de uma forma quadrática a soma de quadrados
• 9.20Lei de inércia de Sylvester
• 9.5Teorema espectral

Proposição

• 1.11Não existe espaço vetorial com dois elementos
• 1.37Propriedades básicas das transformações lineares
• 1.49A composta de transformações lineares é linear
• 1.51\(\Lin(V,W)\) é um espaço vetorial
• 1.52Uma transformação linear fica determinada num conjunto gerador
• 1.53Transformação linear com valores dados em \(e_1,\ldots,e_n\)
• 1.59As fibras de \(T\) são translações do núcleo
• 1.6Unicidade do vetor nulo e do simétrico
• 1.60\(T\) é injetora se e somente se \(\Nuc(T) = \{0\}\)
• 1.67A inversa de um isomorfismo é linear
• 1.68Isomorfismo é uma relação de equivalência
• 1.7Produto por zero e por \(-1\)
• 2.15A interseção de subespaços é subespaço
• 2.16Quando a união de dois subespaços é subespaço
• 2.18\([A]\) é o menor subespaço que contém \(A\)
• 2.20\(S_1+S_2\) é o menor subespaço que contém \(S_1\cup S_2\)
• 2.25Caracterizações da soma direta
• 2.3Critério de subespaço
• 2.33As projeções de uma soma direta
• 2.36Operadores idempotentes são projeções
• 2.45LI equivale a escrita única
• 2.46Uma lista é LD quando algum vetor é combinação dos demais
• 2.65Base equivale a escrita única
• 2.67As coordenadas dão um isomorfismo com \(\R^n\)
• 2.91Dimensão do produto; soma direta interna e externa
• 3.13Mudança de coordenadas
• 3.21\(AX=b\) tem solução quando \(b\) está na imagem de \(T_A\)
• 3.27Operações elementares não alteram o conjunto solução
• 3.3\([T(v)]_C = [T]_{CB}\,[v]_B\)
• 3.31Os pivôs contam o posto
• 3.36Inversa por escalonamento
• 3.9\(\Lin(V,W)\iso\Mat{m}{n}\)
• 4.10Operações de coluna e o determinante
• 4.12Determinante de uma matriz triangular
• 4.24\(T\) é isomorfismo se e somente se \(\det T\neq0\)
• 4.28Determinante de uma matriz triangular por blocos
• 4.3Propriedades das formas \(n\)-lineares alternadas
• 5.11Cálculo da base dual em \(\R^n\)
• 5.13Polinômios de Lagrange: a base dual das avaliações
• 5.16Propriedades da transposta
• 5.25Dimensão do anulador
• 5.30O anulador troca soma e interseção
• 5.41\(V/S\) é um espaço vetorial; a projeção \(\pi\)
• 5.42Dimensão do quociente: \(\dim V/S = \dim V-\dim S\)
• 5.53Todo complementar de \(S\) é isomorfo a \(V/S\)
• 5.55\((V/S)^*\iso S^0\)
• 5.56Operador induzido no quociente e matriz em blocos
• 5.7Dimensão do dual; o núcleo de um funcional não nulo
• 6.14Vetores ortogonais não nulos são LI
• 6.15Coordenadas numa base ortonormal
• 6.27Fórmula da projeção ortogonal
• 6.32Determinante de Gram
• 6.36A matriz da adjunta em bases ortonormais
• 6.37Núcleo e imagem da adjunta
• 6.8Pitágoras
• 7.11O produto exterior é alternado e detecta dependência linear
• 7.19O pullback é linear e inverte a composição
• 7.22\(\iota_v\circ\iota_v = 0\): a contração forma um complexo
• 7.24Sequências exatas curtas
• 7.3Matriz de uma forma bilinear
• 7.34O complexo da contração em \(\R^3\) é exato
• 7.4Formas simétricas e alternadas
• 7.9Propriedades das formas alternadas
• 8.11O polinômio característico: grau, traço e determinante
• 8.17Polinômios em \(T\) e autovalores
• 8.2O autoespaço é um subespaço; \(V_0 = \Nuc(T)\)
• 8.27\(1\leq\mathrm{mg}\leq\mathrm{ma}\)
• 8.32Potências de uma matriz diagonalizável
• 8.43Subespaço invariante: matriz em blocos e fatoração de \(p_T\)
• 8.45Somas diretas invariantes e projeções
• 8.46Operadores que comutam
• 8.9\(\lambda\) é autovalor se e somente se \(\det(T-\lambda I) = 0\)
• 9.13A forma quadrática determina a forma bilinear
• 9.23Formas positivas definidas: cinco caracterizações
• 9.26Diagonalização simultânea de duas formas quadráticas
• 9.31O tipo da cônica \(q=1\) pelo determinante e pelo traço
• 9.6Quociente de Rayleigh: o maior e o menor autovalor
• 9.7Um autovetor real pelo máximo de \(\langle Tv,v\rangle\)
• 9.9Propriedades das matrizes ortogonais

Lema

• 1.5Cancelamento
• 2.42Um vetor que é combinação dos demais pode ser retirado
• 2.52Sistema homogêneo com mais incógnitas do que equações
• 2.53Lema da troca
• 4.19Determinante com \(1\) no canto
• 5.22Os funcionais separam pontos
• 5.40Congruência módulo \(S\) é uma relação de equivalência
• 9.1As raízes de \(p_A\) são reais quando \(A\) é simétrica
• 9.2Auto-adjunto: autovetores de autovalores distintos são ortogonais
• 9.3Auto-adjunto: se \(S\) é invariante, \(S^\perp\) também é

Corolário

• 1.54Toda transformação linear \(\R^n\to\R^m\) é multiplicação por uma matriz
• 1.8Se \(\lambda v = 0\), então \(\lambda = 0\) ou \(v = 0\)
• 2.54Mais vetores do que geradores: a lista é LD
• 2.81Em dimensão \(n\): \(n\) vetores LI, ou \(n\) geradores, formam base
• 2.82Dimensão de um subespaço
• 2.83Todo subespaço tem complementar
• 2.86A soma é direta quando as dimensões se somam
• 2.93Em dimensões iguais, injetora equivale a sobrejetora
• 2.94Dimensões diferentes: \(T\) não é injetora, ou não é sobrejetora
• 2.95Isomorfos se e somente se têm a mesma dimensão
• 3.10\(T\) é isomorfismo se e somente se a sua matriz é invertível
• 3.16Matrizes semelhantes representam o mesmo operador
• 3.24\(\dim N(A) = n-\posto A\): a dimensão do conjunto solução
• 3.25Mais incógnitas do que equações: há solução não trivial
• 3.35\(\posto A = \posto A^t\) e \(\posto A\leq\min\{m,n\}\)
• 4.14O que vale para colunas vale para linhas
• 4.22Determinante da inversa e de uma conjugada
• 4.27Regra de Cramer
• 5.18\((AB)^t = B^tA^t\)
• 5.26Todo hiperplano é o núcleo de um funcional
• 5.31\((S^0)^0 = S\)
• 5.34Posto por linhas é igual a posto por colunas, pelo dual
• 5.35Alternativa de Fredholm
• 5.49O teorema do núcleo e da imagem, pelo quociente
• 5.54Segundo teorema do isomorfismo
• 6.10Desigualdade triangular
• 6.16Mudança entre bases ortonormais: matrizes ortogonais
• 6.18Existência de base ortonormal
• 7.13\(\dim\Alt^n(V) = 1\): toda forma de grau máximo é múltiplo do determinante
• 8.16No máximo \(n\) autovalores; a soma dos autoespaços é direta
• 8.18Autovalores de operadores nilpotentes, idempotentes e involuções
• 8.24\(n\) autovalores distintos bastam para diagonalizar
• 8.28Diagonalizável: raízes reais e \(\mathrm{mg} = \mathrm{ma}\)
• 8.51Todo operador real tem um invariante de dimensão \(1\) ou \(2\)
• 8.55Traço e determinante: soma e produto das raízes de \(p_T\)
• 8.59Potências e inversa como polinômios em \(A\)
• 8.66Involuções e projeções são diagonalizáveis
• 9.22Assinatura, autovalores e congruência

Exemplo

• 1.13O espaço \(\R^n\)
• 1.14Matrizes \(m\times n\)
• 1.15Polinômios
• 1.16\(\R\) como espaço vetorial
• 1.17Espaço nulo
• 1.19Funções de um conjunto em \(\R\)
• 1.21Funções de classe \(C^k\)
• 1.22Polinômios como funções
• 1.23Soluções de \(y''+y=0\)
• 1.24Sequências convergentes e sequências de Fibonacci
• 1.26Operações em \(\R^2\) que não dão espaço vetorial
• 1.27\(\R^2\) com a origem deslocada
• 1.28Reais positivos com produto e potência
• 1.31Combinação linear em \(\R^3\)
• 1.32\(\cos^2t\) é combinação linear de \(1\) e \(\cos2t\)
• 1.33\(\sen t\) não é combinação linear de \(1\) e \(\cos t\)
• 1.38Multiplicação por uma matriz
• 1.39A derivada é linear
• 1.40A integral é linear
• 1.41A avaliação num ponto é linear
• 1.42Transposição e multiplicação à esquerda
• 1.43O traço é linear
• 1.44Rotação e projeção em \(\R^2\)
• 1.46A translação não é linear
• 1.47O determinante não é linear
• 1.48O quadrado não é linear; as lineares \(\R\to\R\)
• 1.50Derivada e integral: \(D\circ J = \mathrm{Id}\), mas \(J\circ D\neq\mathrm{Id}\)
• 1.55Valores dados em \(e_1,e_2\): existe e é única
• 1.56Valores dados em \((2,1)\) e \((-1,1)\): existe e é única
• 1.57Valores incompatíveis: não existe
• 1.62Núcleo e imagem da derivada
• 1.63Núcleo e imagem de uma \(T_A:\R^3\to\R^2\)
• 1.64Núcleo e imagem do traço
• 1.65Deslocamentos nas sequências
• 1.69\(\Pol{n}\iso\R^{n+1}\)
• 1.70\(\Mat{m}{n}\iso\R^{mn}\)
• 1.71Os espaços com operações exóticas são isomorfos aos usuais
• 1.72\(\mathcal{M}_{2\times2}(\R)\iso \Pol{3}\)
• 2.10Não-subespaço: falha a condição (i)
• 2.11Não-subespaço: falha só a condição (ii)
• 2.12Não-subespaço: falha só a condição (iii)
• 2.21Soma de duas retas
• 2.22Soma de dois planos de \(\R^3\): a decomposição não é única
• 2.23Toda matriz é soma de uma simétrica e uma antissimétrica
• 2.27\(\R^2\) é soma direta de duas retas distintas
• 2.28\(\Mat{n}{n} = \Simet\oplus\mathcal{A}\)
• 2.29Funções pares e ímpares
• 2.31Uma soma que não é direta
• 2.35A projeção sobre as matrizes simétricas
• 2.38\(e_1,\ldots,e_n\) geram \(\R^n\)
• 2.39Geradores de \(\Pol{n}\) e de \(\Mat{m}{n}\)
• 2.4Subespaços triviais
• 2.40Três vetores que geram \(\R^2\), com um sobrando
• 2.41\(\Poli\) não é finitamente gerado
• 2.48\(e_1,\ldots,e_n\) são LI em \(\R^n\)
• 2.49\(1,x,\ldots,x^n\) são LI em \(\Pol{n}\)
• 2.5Retas e planos pela origem
• 2.50Uma lista “triangular” de polinômios é LI
• 2.51Em \(\R^n\), testar independência é resolver um sistema homogêneo
• 2.55Quatro vetores num espaço gerado por três
• 2.59\(1,\cos t,\sen t\) são LI
• 2.6Núcleo e imagem são subespaços
• 2.60\(e^t,e^{2t}\) são LI
• 2.61\(1,\cos^2t,\sen^2t\) são LD
• 2.62\(1,t,t^2,\ldots\): uma família infinita LI
• 2.69A base canônica de \(\R^n\)
• 2.7Matrizes simétricas e antissimétricas
• 2.70A base \((1,x,\ldots,x^n)\) de \(\Pol{n}\)
• 2.71A base das matrizes elementares
• 2.72Coordenadas numa base não canônica de \(\R^2\)
• 2.76Dimensões de \(\R^n\), \(\Pol{n}\) e \(\Mat{m}{n}\)
• 2.77Dimensão das matrizes simétricas e das antissimétricas
• 2.78\(\Poli\) tem dimensão infinita
• 2.8Cadeias de subespaços de polinômios e de funções
• 2.84Completar dois vetores a uma base de \(\R^3\)
• 2.87Dois planos distintos pela origem em \(\R^3\) se cortam numa reta
• 2.88As dimensões confirmam \(\Mat{n}{n} = \Simet\oplus\mathcal{A}\)
• 2.89Em \(\R^4\), dois subespaços de dimensão \(3\) se intersectam
• 2.9Um conjunto dado por uma equação linear homogênea é um núcleo
• 2.96Sistemas homogêneos: dimensão do espaço de soluções
• 2.97Dimensão das matrizes de traço nulo
• 2.98A derivada: núcleo e imagem contados
• 2.99Uma dimensão difícil de calcular na mão
• 3.11Rotações e as fórmulas de adição
• 3.17Mudança de base em \(\Pol{2}\): um exemplo completo
• 3.37Um sistema resolvido por completo
• 3.38Discussão de um sistema com parâmetro
• 3.39As duas descrições de um subespaço: geradores e equações
• 3.4A matriz da derivada em duas bases
• 3.5A matriz da identidade
• 3.6Matriz de uma transformação \(\mathcal{M}_{2\times2}(\R)\to\Pol{3}\)
• 4.29Vandermonde e interpolação
• 4.30O determinante da transposição
• 4.31O determinante da multiplicação à esquerda
• 4.7O determinante \(2\times2\)
• 4.8O determinante \(3\times3\): regra de Sarrus
• 5.12Uma base dual em \(\R^3\)
• 5.14Regra de Simpson
• 5.19A transposta em \(\R^n\), com vetores-linha
• 5.28Equações de um subespaço de \(\R^4\) pelo anulador
• 5.3Funcionais em \(\R^n\) são vetores-linha
• 5.36A alternativa de Fredholm num sistema \(3\times2\)
• 5.4Funcionais em \(\Pol{n}\)
• 5.43\(\R^3\) módulo uma reta e módulo um plano
• 5.44Polinômios módulo as constantes
• 5.45Reduzir o representante em \(\R^4/S\)
• 5.47A derivada no quociente pelas constantes
• 5.5Funcionais em \(\Mat{n}{n}\)
• 5.50Matrizes módulo as de traço nulo
• 5.51Polinômios módulo os que se anulam em \(a\)
• 5.52\(\R^3/[(1,-1,1)]\iso\R^2\)
• 5.6Um funcional em \(C^0([0,1])\)
• 6.12O ângulo entre \(1\) e \(t^2\)
• 6.19Gram–Schmidt em \(\R^3\)
• 6.20Polinômios de Legendre
• 6.23Em \(\R^n\), \(S^\perp\) é o espaço solução de um sistema
• 6.24Matrizes simétricas e antissimétricas são ortogonais
• 6.25O complemento ortogonal das constantes em \(\Pol{2}\)
• 6.29A melhor aproximação de \(t^3\) por polinômios de grau \(\leq1\)
• 6.3O produto escalar de \(\R^n\)
• 6.31A reta que melhor ajusta quatro pontos
• 6.33A matriz de Gram de três vetores de \(\R^3\)
• 6.39Projeções ortogonais são auto-adjuntas
• 6.4Produto interno de matrizes: \(\tr(A^tB)\)
• 6.40A derivada nos polinômios trigonométricos é antiadjunta
• 6.41Operadores ortogonais
• 6.5Produto interno de funções: a integral do produto
• 6.6Um produto interno em \(\R^2\) que não é o usual
• 6.7Bilinear e simétrica, mas não positiva
• 7.14\(\Alt^2(\R^3)\) e o produto vetorial
• 7.15Uma forma de grau \(2\) que não é produto de dois funcionais
• 7.25A sequência exata de um quociente
• 7.26A sequência exata do núcleo e da imagem
• 7.27A sequência exata de um produto cartesiano
• 7.28A sequência exata das matrizes simétricas e antissimétricas
• 7.5O produto interno como forma bilinear
• 7.6A forma alternada \(\det(x\ y)\) em \(\R^2\)
• 7.7O produto de dois funcionais e a sua parte alternada
• 8.12Autovalores e autoespaços de uma matriz \(2\times2\)
• 8.13Autovalores e autoespaços de uma matriz \(3\times3\)
• 8.19Os autoespaços da transposição
• 8.20Dois operadores que derivam: \(D\) e \(x\,D\)
• 8.21A rotação não tem autovalor real
• 8.29Uma matriz \(2\times2\) que não é diagonalizável
• 8.30Uma matriz \(3\times3\) diagonalizável com autovalor duplo
• 8.31Raízes reais, mas não diagonalizável
• 8.33Potências, inversa e raízes quadradas por diagonalização
• 8.34Fibonacci por diagonalização
• 8.39Núcleo, imagem e autoespaços são invariantes
• 8.4Reflexão: autovalores \(1\) e \(-1\)
• 8.40Uma reta é invariante quando é gerada por um autovetor
• 8.41Interseção e soma de invariantes são invariantes
• 8.42Para a derivada, cada \(\Pol{k}\) é invariante
• 8.44Os subespaços invariantes de quatro operadores de \(\R^2\)
• 8.47Diagonalizáveis que não comutam, sem autovetor comum
• 8.48Comutar não basta para ter um autovetor real comum
• 8.49Rotação com dilatação: a matriz de \(a+ib\)
• 8.5Projeção: autovalores \(1\) e \(0\)
• 8.52Autovalores \(2\pm i\): uma rotação numa base torta
• 8.56Cayley–Hamilton para matrizes \(2\times2\)
• 8.6Rotação: nenhum autovalor real
• 8.60A inversa de uma matriz \(3\times3\) por Cayley–Hamilton
• 8.61Potências da matriz de Fibonacci
• 8.63Polinômio mínimo da identidade, de idempotentes e de nilpotentes
• 8.64Mesmo polinômio característico, polinômios mínimos diferentes
• 8.7Cisalhamento: um só autoespaço
• 9.14A matriz de uma forma quadrática
• 9.17Redução de \(5x^2-4xy+8y^2\)
• 9.24A assinatura de \(2xy+2yz+2zx\)
• 9.25Diagonal e determinante positivos não bastam
• 9.32Uma elipse: \(5x^2-4xy+8y^2 = 36\)
• 9.33Uma parábola: \(x^2+2xy+y^2-2x+2y-3 = 0\)
• 9.34Uma hipérbole: \(x^2-y^2+2x+4y-4 = 0\)
• 9.35Um par de retas paralelas: \(x^2+4xy+4y^2-6x-12y+8 = 0\)
• 9.38Um cilindro elíptico: \(x^2+y^2+z^2+2xy = 1\)
• 9.39Um hiperboloide de duas folhas: \(xy+yz+zx = 1\)
• 9.40Um hiperboloide de uma folha: \(x^2+y^2-z^2 = 1\)
• 9.41Um cone: \(x^2+y^2-z^2 = 0\)
• 9.42Um elipsoide: \(x^2+2y^2+3z^2-2xz = 1\)
• 9.8Diagonalização ortogonal com um autovalor duplo

Exercício

• 2.14Fechado por somas e diferenças é subespaço?
• 3.44Vetores dois a dois LI formam uma lista LI?
• 3.45Toda base de \(\mathcal{M}_{2\times2}(\R)\) contém uma matriz invertível?
• 3.46Existe \(T:\R^5\to\R^5\) com \(\Nuc(T) = \Ima(T)\)?
• 3.47Existe \(T:\Pol{3}\to\Pol{3}\) com \(\Nuc(T) = \Ima(T)\)?
• 4.32\(AB = I\) implica \(BA = I\)?
• 4.33\(A^2 = A\) e \(A\neq I\) implicam \(\det A = 0\)?
• 5.37Se \(T(S)\subset S\), então \(T^*(S^0)\subset S^0\)?
• 5.57Subespaços de mesma dimensão têm quocientes isomorfos?
• 5.58Quocientes isomorfos implicam subespaços iguais?
• 7.16Em dimensão ímpar, toda forma alternada tem \(v\neq0\) com \(\omega(v,\cdot)=0\)?
• 7.17Em dimensão par, toda forma alternada tem \(v\neq0\) com \(\omega(v,\cdot)=0\)?
• 7.30Numa sequência exata curta, \(V\iso U\times W\)?
• 7.33Soma alternada das dimensões nula implica exatidão?
• 8.35Multiplicidade algébrica \(1\) implica autoespaço de dimensão \(1\)?
• 8.36Autoespaço de dimensão \(1\) implica multiplicidade algébrica \(1\)?
• 8.67Todo operador idempotente é diagonalizável?
• 8.68Se \(T^2\) é diagonalizável, então \(T\) é diagonalizável?
• 9.27Mesma assinatura implica mesmos autovalores?
• 9.28Mesmos autovalores implicam mesma assinatura?

Nota

• 1.10Ordem das demonstrações
• 1.12Dois elementos com escalares \(\{0,1\}\)
• 1.18Polinômios de grau exatamente \(n\)
• 1.20\(\R^n\), matrizes e sequências como espaços de funções
• 1.25Verificação dos axiomas num subconjunto de \(\mathcal{F}(X,\R)\)
• 1.3Três comentários sobre a definição de espaço vetorial
• 1.30Somas sem parênteses
• 1.34Igualdade de funções, ponto a ponto
• 1.4Os três blocos de axiomas
• 1.45Uma transformação linear do plano deforma a malha
• 1.61Sistemas lineares, antecipados
• 1.73O que quer dizer isomorfismo
• 1.9O axioma (M2) não é supérfluo
• 2.13Subespaços e não-subespaços de \(\R^2\)
• 2.26Basta testar a unicidade no zero
• 2.30Simétrica e antissimétrica, par e ímpar: a mesma conta
• 2.32Soma direta de três ou mais subespaços
• 2.34Decomposição do plano em duas retas oblíquas
• 2.47Independência linear em casos pequenos
• 2.58O que o teorema do gerador minimal não diz
• 2.63Pontos provam independência, não dependência
• 2.68Escolher uma base é escolher um isomorfismo com \(\R^n\)
• 2.80LI de um lado, geradores do outro, base no meio
• 3.18Quando a matriz de um operador é diagonal
• 3.20Duas leituras de um sistema: por linhas e por colunas
• 3.28Operações elementares como multiplicação por matrizes
• 3.33O que se lê na forma escada reduzida
• 3.40O teorema do núcleo e da imagem em quatro roupas
• 3.41Verdadeiro ou falso: como decidir
• 3.42Um zoológico de contra-exemplos
• 3.43Quatro esqueletos de demonstração
• 3.8Por que o produto de matrizes é definido assim
• 4.15O determinante é volume com sinal
• 4.16Em \(\R^3\): volume nulo equivale a vetores coplanares
• 4.17A unicidade do determinante é uma ferramenta
• 4.9A fórmula de Leibniz não serve para calcular
• 5.10\(v_1^*\) depende de toda a base, e não só de \(v_1\)
• 5.20\(V\iso V^*\) depende de escolha
• 5.27O anulador em \(\R^n\) são as equações
• 5.29O anulador de uma reta de \(\R^3\): um leque de planos
• 5.32O dicionário entre subespaços e anuladores
• 6.42Dicionário: subespaços, dual e produto interno
• 7.29O teorema do núcleo e da imagem em seis roupas
• 8.14Autovalores reais são as raízes reais de \(p_T\)
• 8.25Um operador diagonalizável estica cada eixo próprio
• 8.53Escalares complexos
• 8.58Uma “demonstração” falsa de Cayley–Hamilton
• 8.8Quatro operadores de \(\R^2\) e os seus autoespaços
• 9.11A forma geral de uma matriz ortogonal
• 9.19As três formas reduzidas de \(\R^2\)
• 9.36Quatro cônicas lado a lado
• 9.37Quádricas pela assinatura
• 9.4Como a auto-adjunção remove os dois obstáculos
• 9.43Onde a álgebra linear reaparece

Motivação

• 1.1Três situações com a mesma estrutura
• 1.35Bijeções que transportam as operações
• 2.1O argumento que vira definição
• 2.43Relações lineares e vetores que sobram
• 3.1Por que uma transformação linear tem matriz
• 4.1Um número que decide a invertibilidade
• 5.1O caso \(W=\R\) de \(\Lin(V,W)\)
• 5.38Identificar vetores cuja diferença está num subespaço
• 6.1A estrutura que faltava para escolher
• 7.1Funções de vários vetores, lineares em cada um
• 8.3Onde a flecha não gira
• 8.37Quando não dá para diagonalizar

Construção

• 9.18Redução de Sylvester por completamento de quadrados
• 9.30Redução de uma cônica ou quádrica: rotação e translação

Por tag

exemplos

• Exemplo 1.13O espaço \(\R^n\)
• Exemplo 1.14Matrizes \(m\times n\)
• Exemplo 1.15Polinômios
• Exemplo 1.16\(\R\) como espaço vetorial
• Exemplo 1.17Espaço nulo
• Exemplo 1.21Funções de classe \(C^k\)
• Exemplo 1.22Polinômios como funções
• Exemplo 1.23Soluções de \(y''+y=0\)
• Exemplo 1.24Sequências convergentes e sequências de Fibonacci
• Exemplo 1.31Combinação linear em \(\R^3\)
• Exemplo 1.32\(\cos^2t\) é combinação linear de \(1\) e \(\cos2t\)
• Exemplo 1.33\(\sen t\) não é combinação linear de \(1\) e \(\cos t\)
• Exemplo 1.38Multiplicação por uma matriz
• Exemplo 1.39A derivada é linear
• Exemplo 1.40A integral é linear
• Exemplo 1.41A avaliação num ponto é linear
• Exemplo 1.42Transposição e multiplicação à esquerda
• Exemplo 1.43O traço é linear
• Exemplo 1.44Rotação e projeção em \(\R^2\)
• Exemplo 1.46A translação não é linear
• Exemplo 1.47O determinante não é linear
• Exemplo 1.48O quadrado não é linear; as lineares \(\R\to\R\)
• Exemplo 1.55Valores dados em \(e_1,e_2\): existe e é única
• Exemplo 1.56Valores dados em \((2,1)\) e \((-1,1)\): existe e é única
• Exemplo 1.57Valores incompatíveis: não existe
• Exemplo 1.62Núcleo e imagem da derivada
• Exemplo 1.63Núcleo e imagem de uma \(T_A:\R^3\to\R^2\)
• Exemplo 1.64Núcleo e imagem do traço
• Exemplo 1.65Deslocamentos nas sequências
• Exemplo 1.69\(\Pol{n}\iso\R^{n+1}\)
• Exemplo 1.70\(\Mat{m}{n}\iso\R^{mn}\)
• Exemplo 1.71Os espaços com operações exóticas são isomorfos aos usuais
• Exemplo 1.72\(\mathcal{M}_{2\times2}(\R)\iso \Pol{3}\)
• Exemplo 2.10Não-subespaço: falha a condição (i)
• Exemplo 2.11Não-subespaço: falha só a condição (ii)
• Exemplo 2.12Não-subespaço: falha só a condição (iii)
• Exemplo 2.21Soma de duas retas
• Exemplo 2.22Soma de dois planos de \(\R^3\): a decomposição não é única
• Exemplo 2.23Toda matriz é soma de uma simétrica e uma antissimétrica
• Exemplo 2.27\(\R^2\) é soma direta de duas retas distintas
• Exemplo 2.28\(\Mat{n}{n} = \Simet\oplus\mathcal{A}\)
• Exemplo 2.29Funções pares e ímpares
• Exemplo 2.31Uma soma que não é direta
• Exemplo 2.38\(e_1,\ldots,e_n\) geram \(\R^n\)
• Exemplo 2.39Geradores de \(\Pol{n}\) e de \(\Mat{m}{n}\)
• Exemplo 2.4Subespaços triviais
• Exemplo 2.40Três vetores que geram \(\R^2\), com um sobrando
• Exemplo 2.41\(\Poli\) não é finitamente gerado
• Exemplo 2.48\(e_1,\ldots,e_n\) são LI em \(\R^n\)
• Exemplo 2.49\(1,x,\ldots,x^n\) são LI em \(\Pol{n}\)
• Exemplo 2.5Retas e planos pela origem
• Exemplo 2.50Uma lista “triangular” de polinômios é LI
• Exemplo 2.51Em \(\R^n\), testar independência é resolver um sistema homogêneo
• Exemplo 2.59\(1,\cos t,\sen t\) são LI
• Exemplo 2.6Núcleo e imagem são subespaços
• Exemplo 2.60\(e^t,e^{2t}\) são LI
• Exemplo 2.61\(1,\cos^2t,\sen^2t\) são LD
• Exemplo 2.62\(1,t,t^2,\ldots\): uma família infinita LI
• Exemplo 2.69A base canônica de \(\R^n\)
• Exemplo 2.7Matrizes simétricas e antissimétricas
• Exemplo 2.70A base \((1,x,\ldots,x^n)\) de \(\Pol{n}\)
• Exemplo 2.71A base das matrizes elementares
• Exemplo 2.72Coordenadas numa base não canônica de \(\R^2\)
• Exemplo 2.76Dimensões de \(\R^n\), \(\Pol{n}\) e \(\Mat{m}{n}\)
• Exemplo 2.77Dimensão das matrizes simétricas e das antissimétricas
• Exemplo 2.78\(\Poli\) tem dimensão infinita
• Exemplo 2.8Cadeias de subespaços de polinômios e de funções
• Exemplo 2.87Dois planos distintos pela origem em \(\R^3\) se cortam numa reta
• Exemplo 2.88As dimensões confirmam \(\Mat{n}{n} = \Simet\oplus\mathcal{A}\)
• Exemplo 2.89Em \(\R^4\), dois subespaços de dimensão \(3\) se intersectam
• Exemplo 2.9Um conjunto dado por uma equação linear homogênea é um núcleo
• Exemplo 3.4A matriz da derivada em duas bases
• Exemplo 3.5A matriz da identidade
• Exemplo 3.6Matriz de uma transformação \(\mathcal{M}_{2\times2}(\R)\to\Pol{3}\)
• Exemplo 4.7O determinante \(2\times2\)
• Exemplo 4.8O determinante \(3\times3\): regra de Sarrus
• Nota 4.9A fórmula de Leibniz não serve para calcular
• Exemplo 5.43\(\R^3\) módulo uma reta e módulo um plano
• Exemplo 5.44Polinômios módulo as constantes
• Exemplo 5.45Reduzir o representante em \(\R^4/S\)
• Exemplo 6.23Em \(\R^n\), \(S^\perp\) é o espaço solução de um sistema
• Exemplo 6.24Matrizes simétricas e antissimétricas são ortogonais
• Exemplo 6.25O complemento ortogonal das constantes em \(\Pol{2}\)
• Exemplo 6.3O produto escalar de \(\R^n\)
• Exemplo 6.39Projeções ortogonais são auto-adjuntas
• Exemplo 6.4Produto interno de matrizes: \(\tr(A^tB)\)
• Exemplo 6.40A derivada nos polinômios trigonométricos é antiadjunta
• Exemplo 6.41Operadores ortogonais
• Exemplo 6.5Produto interno de funções: a integral do produto
• Exemplo 6.6Um produto interno em \(\R^2\) que não é o usual
• Exemplo 6.7Bilinear e simétrica, mas não positiva
• Exemplo 7.25A sequência exata de um quociente
• Exemplo 7.26A sequência exata do núcleo e da imagem
• Exemplo 7.27A sequência exata de um produto cartesiano
• Exemplo 7.28A sequência exata das matrizes simétricas e antissimétricas
• Exemplo 7.5O produto interno como forma bilinear
• Exemplo 7.6A forma alternada \(\det(x\ y)\) em \(\R^2\)
• Exemplo 7.7O produto de dois funcionais e a sua parte alternada
• Exemplo 8.29Uma matriz \(2\times2\) que não é diagonalizável
• Exemplo 8.30Uma matriz \(3\times3\) diagonalizável com autovalor duplo
• Exemplo 8.31Raízes reais, mas não diagonalizável
• Exemplo 8.39Núcleo, imagem e autoespaços são invariantes
• Exemplo 8.4Reflexão: autovalores \(1\) e \(-1\)
• Exemplo 8.40Uma reta é invariante quando é gerada por um autovetor
• Exemplo 8.41Interseção e soma de invariantes são invariantes
• Exemplo 8.42Para a derivada, cada \(\Pol{k}\) é invariante
• Exemplo 8.47Diagonalizáveis que não comutam, sem autovetor comum
• Exemplo 8.48Comutar não basta para ter um autovetor real comum
• Exemplo 8.5Projeção: autovalores \(1\) e \(0\)
• Exemplo 8.6Rotação: nenhum autovalor real
• Exemplo 8.60A inversa de uma matriz \(3\times3\) por Cayley–Hamilton
• Exemplo 8.61Potências da matriz de Fibonacci
• Exemplo 8.63Polinômio mínimo da identidade, de idempotentes e de nilpotentes
• Exemplo 8.64Mesmo polinômio característico, polinômios mínimos diferentes
• Exemplo 8.7Cisalhamento: um só autoespaço
• Exemplo 9.24A assinatura de \(2xy+2yz+2zx\)
• Exemplo 9.25Diagonal e determinante positivos não bastam
• Exemplo 9.32Uma elipse: \(5x^2-4xy+8y^2 = 36\)
• Exemplo 9.33Uma parábola: \(x^2+2xy+y^2-2x+2y-3 = 0\)
• Exemplo 9.34Uma hipérbole: \(x^2-y^2+2x+4y-4 = 0\)
• Exemplo 9.35Um par de retas paralelas: \(x^2+4xy+4y^2-6x-12y+8 = 0\)
• Exemplo 9.38Um cilindro elíptico: \(x^2+y^2+z^2+2xy = 1\)
• Exemplo 9.39Um hiperboloide de duas folhas: \(xy+yz+zx = 1\)
• Exemplo 9.40Um hiperboloide de uma folha: \(x^2+y^2-z^2 = 1\)
• Exemplo 9.41Um cone: \(x^2+y^2-z^2 = 0\)
• Exemplo 9.42Um elipsoide: \(x^2+2y^2+3z^2-2xz = 1\)