Teorema 3.7

A matriz da composta é o produto das matrizes

RequerDefinição 3.2Matriz de uma transformação linear Proposição 1.49A composta de transformações lineares é linear

A demonstração exigeProposição 3.3\([T(v)]_C = [T]_{CB}\,[v]_B\)

Sejam \(T:V\to W\) e \(S:W\to U\) lineares, e \(B\), \(C\), \(D\) bases de \(V\), \(W\), \(U\). Então \[[\,S\circ T\,]_{DB} = [S]_{DC}\,[T]_{CB}.\]

Demonstração

Para todo \(v\in V\), aplicando duas vezes a Proposição 3.3, \[[(S\circ T)(v)]_D = [\,S(T(v))\,]_D = [S]_{DC}\,[T(v)]_C = [S]_{DC}[T]_{CB}\,[v]_B.\] Pela unicidade na Proposição 3.3, \([S\circ T]_{DB} = [S]_{DC}[T]_{CB}\).

Usado emExemplo 3.11Rotações e as fórmulas de adição Nota 3.8Por que o produto de matrizes é definido assim

Usado em demonstrações deCorolário 5.18\((AB)^t = B^tA^t\)Corolário 3.10\(T\) é isomorfismo se e somente se a sua matriz é invertível Teorema 3.14Mudança de base de um operador: \([T]_{B'B'} = P^{-1}[T]_{BB}P\)

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