\(T\) é isomorfismo se e somente se a sua matriz é invertível

Se \(T\) é isomorfismo, de \(T^{-1}\circ T = \mathrm{Id}_V\) e \(T\circ T^{-1} = \mathrm{Id}_W\) e do Teorema 3.7 vem \[[T^{-1}]_{BC}[T]_{CB} = I_n\qquad\text{e}\qquad [T]_{CB}[T^{-1}]_{BC} = I_m,\] o que já dá tudo. Reciprocamente, se \([T]_{CB}\) é invertível, seja \(S\) a transformação com \([S]_{BC} = ([T]_{CB})^{-1}\), que existe pela Proposição 3.9; então \([S\circ T]_{BB} = I\) e \([T\circ S]_{CC} = I\), e pela injetividade de \(\Psi\) concluímos \(S\circ T = \mathrm{Id}\) e \(T\circ S = \mathrm{Id}\).