Definição 3.2

Matriz de uma transformação linear

RequerDefinição 2.66Coordenadas numa base Definição 1.36Transformação linear

Sejam \(T:V\to W\) linear, \(B = (v_1,\ldots,v_n)\) base de \(V\) e \(C = (w_1,\ldots,w_m)\) base de \(W\). A matriz de \(T\) nas bases \(B\) e \(C\) é a matriz \([T]_{CB}\in\Mat{m}{n}\) cuja \(j\)-ésima coluna é \([T(v_j)]_C\). Em fórmula: os números \(a_{ij}\) definidos por \[T(v_j) = a_{1j}w_1+a_{2j}w_2+\cdots+a_{mj}w_m\qquad (j=1,\ldots,n)\] são as entradas de \([T]_{CB} = (a_{ij})\).

O quadrado que define a matriz de \(T\). As duas setas verticais são as bases (Proposição 2.67); a de cima é a transformação que interessa; a de baixo é uma matriz. Dizer “a matriz de \(T\)” é dizer que existe uma única seta de baixo que faz o quadrado comutar.

Duas armadilhas de notação. (i) A base do contradomínio vem primeiro no símbolo \([T]_{CB}\), na mesma ordem em que aparece na fórmula \([T(v)]_C = [T]_{CB}[v]_B\) (Proposição 3.3) — o \(B\) fica encostado no \([v]_B\). (ii) Os índices de \(a_{ij}\) estão “trocados” em relação à expressão de \(T(v_j)\), e isso é proposital, para que a fórmula do produto de matrizes saia certa.

Usado emCorolário 3.10\(T\) é isomorfismo se e somente se a sua matriz é invertível Corolário 3.16Matrizes semelhantes representam o mesmo operador Definição 8.22Operador diagonalizável Definição 3.12Matriz de mudança de base Exemplo 3.4A matriz da derivada em duas bases Exemplo 3.5A matriz da identidade Exemplo 3.6Matriz de uma transformação \(\mathcal{M}_{2\times2}(\R)\to\Pol{3}\)Proposição 3.3\([T(v)]_C = [T]_{CB}\,[v]_B\)Proposição 6.36A matriz da adjunta em bases ortonormais Proposição 5.56Operador induzido no quociente e matriz em blocos Proposição 3.9\(\Lin(V,W)\iso\Mat{m}{n}\)Teorema 3.7A matriz da composta é o produto das matrizes Teorema 5.17A matriz da transposta é a transposta da matriz

Veja tambémMotivação 3.1Por que uma transformação linear tem matriz Corolário 1.54Toda transformação linear \(\R^n\to\R^m\) é multiplicação por uma matriz Proposição 3.3\([T(v)]_C = [T]_{CB}\,[v]_B\)

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