Toda transformação linear \(\R^n\to\R^m\) é multiplicação por uma matriz
Toda transformação linear \(T:\R^n\to\R^m\) é \(T = T_A\) para uma única matriz \(A\in\Mat{m}{n}\): a matriz cuja \(j\)-ésima coluna é \(T(e_j)\).
É o caso \(V=\R^n\), \(W=\R^m\) da matriz de uma transformação linear em bases quaisquer (Definição 3.2).
Demonstração
\(T_A(e_j) = Ae_j\) é a \(j\)-ésima coluna de \(A\). Se escolhemos essa coluna igual a \(T(e_j)\), então \(T_A\) e \(T\) coincidem nos \(e_j\), e a Proposição 1.52 dá \(T = T_A\).
cor-matriz