Transformação linear com valores dados em \(e_1,\ldots,e_n\)
Dados \(w_1,\ldots,w_n\in W\) quaisquer, existe uma única transformação linear \(T:\R^n\to W\) com \(T(e_i) = w_i\) para todo \(i\), a saber \[T(x_1,\ldots,x_n) = x_1w_1+\cdots+x_nw_n.\]
A proposição vale com qualquer base no lugar de \(e_1,\ldots,e_n\); para isso é preciso saber o que é base (Definição 2.64).
Demonstração
A fórmula é linear: \(T(x+\lambda y) = \sum_i(x_i+\lambda y_i)w_i = T(x)+\lambda T(y)\). E \(T(e_i) = w_i\). A unicidade é a Proposição 1.52, porque \(e_1,\ldots,e_n\) geram \(\R^n\).
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