As coordenadas dão um isomorfismo com \(\R^n\)

Boa definição: é exatamente a unicidade da Proposição 2.65.

Linearidade: se \(v = \sum_ia_iv_i\) e \(w = \sum_ib_iv_i\), então \[v+\lambda w = \sum_i(a_i+\lambda b_i)v_i,\] e, de novo pela unicidade, essa é a escrita de \(v+\lambda w\). Logo \([v+\lambda w]_B = [v]_B+\lambda[w]_B\).

Sobrejetividade: dado \((a_1,\ldots,a_n)\in\R^n\), o vetor \(v = \sum_ia_iv_i\) satisfaz \([v]_B = (a_1,\ldots,a_n)\).

Injetividade: se \([v]_B = 0\), então \(v = \sum_i0\,v_i = 0\).