Isomorfos se e somente se têm a mesma dimensão

Se \(\dim V = \dim W = n\), escolha bases e componha os isomorfismos da Proposição 2.67: \(V\xrightarrow{\varphi_B}\R^n\xrightarrow{\varphi_C^{-1}}W\). Reciprocamente, um isomorfismo \(T:V\to W\) leva base em base: se \((v_1,\ldots,v_n)\) é base de \(V\), então \((T(v_1),\ldots,T(v_n))\) gera \(\Ima(T)=W\) e é LI, porque \(\sum b_jT(v_j)=0\) dá \(T(\sum b_jv_j)=0\) e, sendo \(T\) injetora, \(\sum b_jv_j = 0\).