Início · Capítulo 2 · Subespaços, geradores e bases
Uma base de um espaço vetorial \(V\) é uma sequência \(B = (v_1,\ldots,v_n)\) de vetores de \(V\) que é linearmente independente e gera \(V\).
Uma base é uma sequência, não um conjunto: a ordem importa, porque é ela que dá sentido às coordenadas (Definição 2.66).
\(B = (v_1,\ldots,v_n)\) é base de \(V\) se e somente se todo \(v\in V\) se escreve de uma única maneira como \[v = a_1v_1+\cdots+a_nv_n,\qquad a_i\in\R.\]
(\(\Rightarrow\)) A existência da escrita é o fato de \(B\) gerar \(V\). Para a unicidade, suponha \[a_1v_1+\cdots+a_nv_n = b_1v_1+\cdots+b_nv_n.\] Passando tudo para um lado, \((a_1-b_1)v_1+\cdots+(a_n-b_n)v_n = 0\); como \(B\) é LI, todos os coeficientes são nulos, isto é, \(a_i = b_i\) para todo \(i\).
(\(\Leftarrow\)) A existência da escrita diz que \(B\) gera \(V\). Para a independência, note que o vetor \(0\) admite a escrita \(0 = 0\,v_1+\cdots+0\,v_n\); pela unicidade, essa é a única, e portanto \(a_1v_1+\cdots+a_nv_n = 0\) força \(a_i = 0\) para todo \(i\).
Seja \(B = (v_1,\ldots,v_n)\) base de \(V\). Dado \(v\in V\), os únicos \(a_1,\ldots,a_n\) com \(v = \sum_ia_iv_i\) são as coordenadas de \(v\) na base \(B\), e escrevemos \[[v]_B = (a_1,\ldots,a_n)\in\R^n.\]
Se \(B\) é base de \(V\) com \(n\) elementos, então \[\varphi_B : V\longrightarrow\R^n,\qquad \varphi_B(v) = [v]_B\] é um isomorfismo.
Boa definição: é exatamente a unicidade da Proposição 2.65.
Linearidade: se \(v = \sum_ia_iv_i\) e \(w = \sum_ib_iv_i\), então \[v+\lambda w = \sum_i(a_i+\lambda b_i)v_i,\] e, de novo pela unicidade, essa é a escrita de \(v+\lambda w\). Logo \([v+\lambda w]_B = [v]_B+\lambda[w]_B\).
Sobrejetividade: dado \((a_1,\ldots,a_n)\in\R^n\), o vetor \(v = \sum_ia_iv_i\) satisfaz \([v]_B = (a_1,\ldots,a_n)\).
Injetividade: se \([v]_B = 0\), então \(v = \sum_i0\,v_i = 0\).
A Proposição 2.67 em uma frase: escolher uma base de \(V\) é escolher um isomorfismo entre \(V\) e \(\R^n\). Muito do que se faz com bases é o transporte, por esse isomorfismo, de fatos que já conhecemos em \(\R^n\).
Note também que o isomorfismo depende da base: bases diferentes dão isomorfismos diferentes. Em particular, não existe “a” base de um espaço vetorial abstrato — só \(\R^n\) tem base canônica, e é justamente porque em \(\R^n\) já veio escolhido um isomorfismo com \(\R^n\), a saber, a identidade.
Por isso não faz sentido perguntar qual é a base canônica de \(\Pol{2}\), embora \((1,x,x^2)\) seja a escolha óbvia.
\(\mathcal{E} = (e_1,\ldots,e_n)\) é base de \(\R^n\), a base canônica. Nela, \([v]_{\mathcal E} = v\).
\((1,x,x^2,\ldots,x^n)\) é base de \(\Pol{n}\): as coordenadas de um polinômio são os seus coeficientes.
As matrizes elementares \(E_{ij}\), ordenadas linha a linha, formam uma base de \(\Mat{m}{n}\).
\(B = \big((1,1),(1,-1)\big)\) é base de \(\R^2\), e \([(3,1)]_B = (2,1)\), porque \((3,1) = 2(1,1)+1(1,-1)\). “Coordenadas” e “entradas” são coisas diferentes.
O mesmo vetor \(v\), duas bases, duas listas de coordenadas. Escolher a base é escolher a malha em que se conta; a Proposição 2.67 diz que cada malha dá um isomorfismo \(V\to\R^n\), e que malhas diferentes dão isomorfismos diferentes.
Todo espaço vetorial \(V\neq\{0\}\) gerado por um conjunto finito possui base. Mais precisamente: de todo conjunto gerador finito pode-se extrair uma base.
A demonstração é um algoritmo: ela não só garante a existência como diz como achar a base. Isso é usado toda vez que um subespaço vem dado por geradores.
Seja \(G = \{u_1,\ldots,u_m\}\) com \([G] = V\). Se \(G\) é LI, ele já é base e acabou. Se não é, pela Proposição 2.46 algum \(u_j\) é combinação linear dos demais; e, pelo Lema 2.42, retirar de um gerador um vetor que é combinação dos outros não altera o subespaço gerado, logo \(G\setminus\{u_j\}\) ainda gera \(V\).
Repetimos o procedimento. Ele termina, porque a cada passo o conjunto perde um elemento e começamos com um número finito deles. E ele não pode chegar ao conjunto vazio, porque \([\,\emptyset\,] = \{0\}\neq V\). O conjunto que sobra gera \(V\) e é LI: é base.
Se \(V\) admite uma base com \(n\) elementos e uma base com \(m\) elementos, então \(n = m\).
Sejam \(B = (v_1,\ldots,v_n)\) e \(C = (w_1,\ldots,w_m)\) bases de \(V\). Aplique o Lema 2.53 duas vezes:
\(B\) gera \(V\) e \(C\) é LI \(\ \Longrightarrow\ m\leq n\);
\(C\) gera \(V\) e \(B\) é LI \(\ \Longrightarrow\ n\leq m\).
Logo \(n=m\).
Se \(V\) admite uma base com \(n\) elementos, dizemos que \(V\) tem dimensão finita e escrevemos \(\dim V = n\). Convencionamos \(\dim\{0\} = 0\) (base vazia). Um espaço que não é gerado por nenhum conjunto finito tem dimensão infinita.
É a Teorema 2.74 que dá sentido à palavra “dimensão”: sem ela, a definição seria ambígua.
\(\dim\R^n = n\); \(\dim \Pol{n} = n+1\); \(\dim\Mat{m}{n} = mn\).
\(\Simet = \{A\in\Mat{n}{n}: A^t = A\}\) e \(\mathcal{A} = \{A : A^t = -A\}\). Uma matriz simétrica fica determinada pela diagonal e pela parte estritamente triangular superior: \[\dim\Simet = n+\frac{n(n-1)}{2} = \frac{n(n+1)}{2}.\] Uma antissimétrica tem diagonal nula e fica determinada pela parte estritamente triangular superior: \(\dim\mathcal{A} = \frac{n(n-1)}{2}\). Note que \(\dim\Simet+\dim\mathcal{A} = n^2 = \dim\Mat{n}{n}\) — coerente com \(\Mat{n}{n} = \Simet\oplus\mathcal{A}\) (Exemplo 2.28), que o Corolário 2.86 explica.
Uma base de \(\Simet\): as matrizes \(E_{ii}\) e \(E_{ij}+E_{ji}\) com \(i<j\).
\(\Poli\), o espaço de todos os polinômios, tem dimensão infinita: se fosse gerado por \(p_1,\ldots,p_m\), todo polinômio teria grau \(\leq\max_i\deg p_i\), o que é falso.
Seja \(\dim V = n\) e sejam \(v_1,\ldots,v_k\in V\) linearmente independentes. Então existem \(v_{k+1},\ldots,v_n\in V\) tais que \((v_1,\ldots,v_n)\) é base de \(V\).
Se \([v_1,\ldots,v_k] = V\), então \((v_1,\ldots,v_k)\) é base, e pelo Teorema 2.74 temos \(k=n\): nada há a acrescentar.
Caso contrário, existe \(v_{k+1}\in V\) com \(v_{k+1}\notin[v_1,\ldots,v_k]\). Afirmamos que \(v_1,\ldots,v_{k+1}\) são LI. De fato, suponha \[a_1v_1+\cdots+a_kv_k+a_{k+1}v_{k+1} = 0.\] Se \(a_{k+1}\neq0\), poderíamos isolar \(v_{k+1} = -a_{k+1}^{-1}(a_1v_1+\cdots+a_kv_k)\in[v_1,\ldots,v_k]\), contra a escolha de \(v_{k+1}\). Logo \(a_{k+1} = 0\), e a igualdade vira \(a_1v_1+\cdots+a_kv_k = 0\), cujos coeficientes são nulos porque \(v_1,\ldots,v_k\) são LI.
Repetimos o argumento. O processo termina: pelo Lema 2.53, um conjunto LI em \(V\) nunca tem mais do que \(n\) elementos, já que \(V\) é gerado por \(n\) vetores. Quando ele para, é porque o conjunto obtido gera \(V\); sendo também LI, é base — e pelo Teorema 2.74 ela tem exatamente \(n\) elementos.
A régua que organiza a Teorema 2.73 e o Teorema 2.79. Conjuntos LI vivem à esquerda de \(n\), geradores vivem à direita, e uma base é o único ponto de encontro. Os dois teoremas são as duas setas: uma empurra um LI para a direita, a outra puxa um gerador para a esquerda. Um extrai base de um gerador, o outro completa base a partir de um LI: são os dois lados da equivalência do Teorema 2.57, agora em forma de teorema. O Corolário 2.81 é ler a figura no ponto \(n\).
Seja \(\dim V = n\). Então:
quaisquer \(n+1\) vetores de \(V\) são LD;
\(n\) vetores LI de \(V\) formam uma base;
\(n\) vetores que geram \(V\) formam uma base.
O corolário reduz o trabalho pela metade: sabendo a dimensão, basta verificar uma das duas propriedades.
(a) \(V\) é gerado por \(n\) vetores (uma base), então pelo Lema 2.53 nenhum conjunto LI tem mais de \(n\) elementos.
(b) Pelo Teorema 2.79, esses \(n\) vetores se completam a uma base; mas toda base tem \(n\) elementos (Teorema 2.74), logo nada foi acrescentado — eles já eram base.
(c) Pelo Teorema 2.73, deles se extrai uma base; mas toda base tem \(n\) elementos, logo nada foi retirado.
Seja \(\dim V = n\) e \(S\subset V\) um subespaço. Então \(S\) tem dimensão finita, \(\dim S\leq n\), e vale \(\dim S = n\) se e somente se \(S = V\).
Todo conjunto LI contido em \(S\) é, em particular, LI em \(V\), logo tem no máximo \(n\) elementos pelo Corolário 2.81(a). Escolha então em \(S\) um conjunto LI \((u_1,\ldots,u_k)\) com \(k\) máximo (possível, porque \(k\leq n\)). Ele gera \(S\): se existisse \(u\in S\) fora de \([u_1,\ldots,u_k]\), o conjunto \((u_1,\ldots,u_k,u)\) seria LI — pelo mesmo argumento da demonstração do Teorema 2.79 — contrariando a maximalidade de \(k\). Logo \((u_1,\ldots,u_k)\) é base de \(S\) e \(\dim S = k\leq n\).
Se \(k = n\), então \((u_1,\ldots,u_n)\) são \(n\) vetores LI em \(V\), logo base de \(V\) pelo Corolário 2.81(b); portanto \(V = [u_1,\ldots,u_n]\subset S\), isto é, \(S=V\). A recíproca é imediata.
Todo subespaço \(S\) de um espaço \(V\) de dimensão finita admite complementar: existe \(S'\subset V\) com \(V = S\oplus S'\).
Tome uma base \((u_1,\ldots,u_k)\) de \(S\) e complete-a a uma base \((u_1,\ldots,u_k,w_1,\ldots,w_r)\) de \(V\) (Teorema 2.79). Ponha \(S' = [w_1,\ldots,w_r]\). Então \(S+S' = V\), porque a base toda está em \(S\cup S'\). E \(S\cap S' = \{0\}\): se \(v\in S\cap S'\), escrevemos \(v = \sum_ia_iu_i\) e \(v = \sum_jb_jw_j\), donde \(\sum_ia_iu_i-\sum_jb_jw_j = 0\); como a base toda é LI, todos os coeficientes são nulos e \(v=0\).
Completar \(v_1 = (1,1,0)\), \(v_2 = (0,1,1)\) a uma base de \(\R^3\). Eles são LI. Basta achar um vetor fora do plano \([v_1,v_2]\): como \([v_1,v_2] = \{(x,y,z): x-y+z = 0\}\), o vetor \(e_1 = (1,0,0)\) serve, pois \(1\neq0\). Logo \(\big((1,1,0),(0,1,1),(1,0,0)\big)\) é base de \(\R^3\), e \(S' = [(1,0,0)]\) é um complementar do plano.
Um subespaço tem muitos complementares. Qualquer reta fora do plano serve, e o Corolário 2.83 produz uma delas — a que sair do completamento de base. O complemento ortogonal \(S^\perp\) (pontilhado) é apenas um entre eles, e é único; mas ele exige um produto interno (Definição 6.21).
Sejam \(S_1,S_2\) subespaços de dimensão finita de \(V\). Então \[\dim(S_1+S_2)+\dim(S_1\cap S_2) = \dim S_1+\dim S_2.\]
As três bases encaixadas. O miolo comum são os \(w\); os “braços” são os \(u\) (de \(S_1\)) e os \(z\) (de \(S_2\)). A conta do teorema é ler a figura: à esquerda o miolo é contado duas vezes, à direita ele é contado uma. Todo o trabalho da demonstração é verificar que a linha de baixo é de fato linearmente independente.
Seja \((w_1,\ldots,w_r)\) uma base de \(S_1\cap S_2\). Pelo Teorema 2.79, complete-a a uma base \[(w_1,\ldots,w_r,\,u_1,\ldots,u_p)\ \text{ de }\ S_1 \qquad\text{e a uma base}\qquad (w_1,\ldots,w_r,\,z_1,\ldots,z_q)\ \text{ de }\ S_2.\] Afirmamos que \[\mathcal{B} = (w_1,\ldots,w_r,\,u_1,\ldots,u_p,\,z_1,\ldots,z_q)\] é base de \(S_1+S_2\).
Gera: um elemento de \(S_1+S_2\) é \(s_1+s_2\) com \(s_i\in S_i\); escrevendo cada \(s_i\) na base correspondente, tudo cai em \([\mathcal{B}]\).
É LI: suponha \[\underbrace{\textstyle\sum_ia_iw_i+\sum_jb_ju_j}_{\in\,S_1} +\underbrace{\textstyle\sum_kc_kz_k}_{\in\,S_2} = 0.\] Ponha \(x = \sum_kc_kz_k\). Da igualdade, \(x = -\sum_ia_iw_i-\sum_jb_ju_j\in S_1\); e \(x\in S_2\) por construção. Logo \(x\in S_1\cap S_2\) e podemos escrever \(x = \sum_id_iw_i\). Então \[\sum_kc_kz_k-\sum_id_iw_i = 0,\] e como \((w_1,\ldots,w_r,z_1,\ldots,z_q)\) é base de \(S_2\), todos os \(c_k\) (e todos os \(d_i\)) são nulos. Voltando à igualdade original, sobra \(\sum_ia_iw_i+\sum_jb_ju_j = 0\); como \((w_1,\ldots,w_r,u_1,\ldots,u_p)\) é base de \(S_1\), todos os \(a_i\) e \(b_j\) são nulos.
Portanto \(\dim(S_1+S_2) = r+p+q\), e \[\dim S_1+\dim S_2 = (r+p)+(r+q) = r+(r+p+q) = \dim(S_1\cap S_2)+\dim(S_1+S_2).\qquad\]
A soma \(S_1+S_2\) é direta se e somente se \(\dim(S_1+S_2) = \dim S_1+\dim S_2\).
A soma é direta \(\iff S_1\cap S_2 = \{0\} \iff \dim(S_1\cap S_2) = 0\), e basta olhar a fórmula.
Dois planos distintos por \(0\) em \(\R^3\) se cortam em uma reta. De fato, \(\dim S_1 = \dim S_2 = 2\) e \(S_1+S_2\subset\R^3\) dá \(\dim(S_1+S_2)\leq3\); logo \[\dim(S_1\cap S_2) = 4-\dim(S_1+S_2)\geq 1.\] E como os planos são distintos, \(S_1+S_2\) tem dimensão \(3\), donde \(\dim(S_1\cap S_2)=1\) exatamente.
Dois planos distintos por \(0\) em \(\R^3\). A soma deles é \(\R^3\) inteiro, de dimensão \(3\); a fórmula obriga então a interseção a ter dimensão \(1\). Não há como dois planos se cruzarem apenas na origem — e a conta diz isso antes de qualquer desenho.
\(\Mat{n}{n} = \Simet\oplus\mathcal{A}\): já sabíamos que a interseção é nula (Exemplo 2.28), e agora as dimensões confirmam, \(\frac{n(n+1)}2+\frac{n(n-1)}2 = n^2\).
Em \(\R^4\), dois subespaços de dimensão \(3\) nunca podem ter interseção nula: \(\dim(S_1\cap S_2)\geq 3+3-4 = 2\).
Em geral, \(\dim(S_1\cap S_2)\geq\dim S_1+\dim S_2-\dim V\). Em \(\R^3\), dois planos têm que se cortar numa reta (Exemplo 2.87); em \(\R^4\), dois planos podem se cortar só na origem, e a conta explica por quê.
Dados espaços vetoriais \(V\) e \(W\), o produto cartesiano \(V\times W = \{(v,w) : v\in V,\ w\in W\}\) é espaço vetorial com as operações feitas coordenada a coordenada: \[(v,w)+(v',w') = (v+v',\,w+w'),\qquad \lambda(v,w) = (\lambda v,\,\lambda w).\]
Se \(\dim V = n\) e \(\dim W = m\), então \(\dim(V\times W) = n+m\). Além disso, se \(V = S_1\oplus S_2\), a aplicação \[\Phi: S_1\times S_2\longrightarrow V,\qquad \Phi(s_1,s_2) = s_1+s_2,\] é um isomorfismo.
As duas somas diretas. À esquerda, a externa: dois espaços quaisquer, postos lado a lado. À direita, a interna: dois subespaços de um mesmo \(V\), com interseção nula; a seta é \(\Phi(s_1,s_2) = s_1+s_2\). A proposição diz que, quando a interna existe, as duas são a mesma coisa a menos de isomorfismo — e é por isso que se usa o mesmo símbolo \(\oplus\) para as duas.
Se \((v_1,\ldots,v_n)\) é base de \(V\) e \((w_1,\ldots,w_m)\) é base de \(W\), então \[\big((v_1,0),\ldots,(v_n,0),\ (0,w_1),\ldots,(0,w_m)\big)\] gera \(V\times W\) (pois \((v,w) = (v,0)+(0,w)\)) e é LI (uma combinação nula obriga cada coordenada a se anular). Logo a dimensão é \(n+m\).
Quanto a \(\Phi\): ela é linear, e é sobrejetora porque \(V = S_1+S_2\). É injetora porque \(s_1+s_2 = 0\) com \(s_i\in S_i\) obriga \(s_1 = -s_2\in S_1\cap S_2 = \{0\}\).
Sejam \(V\) de dimensão finita, \(W\) um espaço vetorial e \(T: V\to W\) linear. Então \[\dim V = \dim \Nuc(T)+\dim\Ima(T).\]
O teorema em uma figura. Escolhido um complementar do núcleo, \(T\) o leva bijetivamente sobre a imagem, e esmaga o núcleo no zero. A demonstração consiste exatamente em verificar essas duas afirmações. A régua embaixo é a forma em que o teorema é usado: o comprimento total é \(\dim V\), e as duas parcelas se compensam.
A moral: a imagem é a cópia isomorfa de qualquer complementar do núcleo; \(T\) esmaga o núcleo e é injetora em tudo o que sobra. Essa frase antecipa o teorema do isomorfismo (Teorema 5.48).
Seja \((u_1,\ldots,u_k)\) uma base de \(\Nuc(T)\) — que tem dimensão finita, por ser subespaço de \(V\) (Corolário 2.82) — e complete-a a uma base \[(u_1,\ldots,u_k,\,v_1,\ldots,v_r)\quad\text{de }V,\qquad k+r = \dim V.\] Afirmamos que \(\big(T(v_1),\ldots,T(v_r)\big)\) é base de \(\Ima(T)\).
Gera: um elemento de \(\Ima(T)\) é \(T(x)\) para algum \(x\in V\). Escrevendo \(x = \sum_ia_iu_i+\sum_jb_jv_j\) e usando a linearidade, \[T(x) = \sum_ia_i\underbrace{T(u_i)}_{=\,0}+\sum_jb_jT(v_j) = \sum_jb_jT(v_j).\]
É LI: suponha \(\sum_jb_jT(v_j) = 0\). Por linearidade, \(T\big(\sum_jb_jv_j\big) = 0\), isto é, \(\sum_jb_jv_j\in \Nuc(T) = [u_1,\ldots,u_k]\). Logo existem \(a_i\) com \[\sum_jb_jv_j = \sum_ia_iu_i,\qquad\text{ou seja}\qquad \sum_ia_iu_i-\sum_jb_jv_j = 0.\] Como \((u_1,\ldots,u_k,v_1,\ldots,v_r)\) é base de \(V\), todos os coeficientes são nulos; em particular \(b_j = 0\) para todo \(j\).
Portanto \(\dim\Ima(T) = r = \dim V-k = \dim V-\dim \Nuc(T)\).
Sejam \(V\) e \(W\) de dimensão finita com \(\dim V = \dim W\), e \(T:V\to W\) linear. São equivalentes: (a) \(T\) é injetora; (b) \(T\) é sobrejetora; (c) \(T\) é bijetora.
A hipótese \(\dim V = \dim W<\infty\) é essencial. O contra-exemplo é o Exemplo 1.65: injetor e não sobrejetor. Em dimensão finita isso é impossível — e é o que torna a álgebra linear em dimensão finita tão mais simples.
Pelo teorema, \(\dim\Ima(T) = \dim V-\dim \Nuc(T)\). Então \[T\ \text{injetora}\iff \Nuc(T)=\{0\}\iff\dim\Ima(T) = \dim V = \dim W\] \[\iff \Ima(T) = W\iff T\ \text{sobrejetora},\] onde a penúltima equivalência é o Corolário 2.82 aplicado ao subespaço \(\Ima(T)\subset W\). A equivalência com (c) é imediata.
Seja \(T:V\to W\) linear, com \(V\) e \(W\) de dimensão finita.
Se \(\dim V>\dim W\), então \(T\) não é injetora.
Se \(\dim V<\dim W\), então \(T\) não é sobrejetora.
(a) \(\dim \Nuc(T) = \dim V-\dim\Ima(T)\geq\dim V-\dim W>0\). (b) \(\dim\Ima(T)\leq\dim V<\dim W\), logo \(\Ima(T)\neq W\) pelo Corolário 2.82.
Dois espaços de dimensão finita são isomorfos se e somente se têm a mesma dimensão. Em particular, \(\dim V = n\) implica \(V\iso\R^n\).
Se \(\dim V = \dim W = n\), escolha bases e componha os isomorfismos da Proposição 2.67: \(V\xrightarrow{\varphi_B}\R^n\xrightarrow{\varphi_C^{-1}}W\). Reciprocamente, um isomorfismo \(T:V\to W\) leva base em base: se \((v_1,\ldots,v_n)\) é base de \(V\), então \((T(v_1),\ldots,T(v_n))\) gera \(\Ima(T)=W\) e é LI, porque \(\sum b_jT(v_j)=0\) dá \(T(\sum b_jv_j)=0\) e, sendo \(T\) injetora, \(\sum b_jv_j = 0\).
Sistemas homogêneos. Um sistema homogêneo com \(m\) equações e \(n\) incógnitas é \(T(X) = 0\) para \(T:\R^n\to\R^m\) linear. Então \[\dim(\text{espaço de soluções}) = \dim \Nuc(T) = n-\dim\Ima(T)\geq n-m.\] Em particular, se \(n>m\) — mais incógnitas do que equações — o sistema tem solução não trivial. É o item (a) do Corolário 2.94 em roupa de sistema.
O traço. \(\tr:\Mat{n}{n}\to\R\) é linear e sobrejetora (pois \(\tr E_{11} = 1\)). Logo \[\dim\{A : \tr A = 0\} = n^2-1.\] Repare que não exibimos base alguma: a dimensão saiu da contagem.
A derivada. \(D:\Pol{n}\to \Pol{n}\), \(D(p) = p'\). O núcleo são as constantes, de dimensão \(1\), logo \(\dim\Ima(D) = (n+1)-1 = n\); e de fato \(\Ima(D) = \Pol{n-1}\). Note que \(D\) não é injetora nem sobrejetora — coerente com o Corolário 2.93, que só proíbe uma das duas sem a outra.
Uma dimensão difícil de calcular na mão. Em \(V = \Mat{3}{3}\), seja \[S = \{A\in V:\ a_{11}+a_{12}+a_{13} = a_{21}+a_{22}+a_{23} = a_{31}+a_{32}+a_{33}\},\] isto é, as matrizes cujas três linhas têm a mesma soma. Definindo \(T:V\to\R^2\) por \(T(A) = (r_1-r_2,\ r_2-r_3)\), onde \(r_i\) é a soma da \(i\)-ésima linha, temos \(S = \Nuc(T)\). E \(T\) é sobrejetora: a matriz com primeira linha \((1,0,0)\) e o resto nulo vai em \((1,0)\); a com terceira linha \((1,0,0)\) e o resto nulo vai em \((0,-1)\). Logo \[\dim S = 9-2 = 7.\]
O teorema é usado aqui como ferramenta de cálculo, e não como resultado estrutural. Achar uma base desse \(S\) à mão é desagradável; a contagem sai em três linhas.