Início · Capítulo 2 · Subespaços, geradores e bases
Dizemos que \(v_1,\ldots,v_k\in V\) geram \(V\) (ou que formam um conjunto gerador de \(V\)) se \([v_1,\ldots,v_k] = V\), isto é, se todo vetor de \(V\) é combinação linear dos \(v_i\). Se \(V\) admite um conjunto gerador finito, dizemos que \(V\) é finitamente gerado.
\(e_1,\ldots,e_n\) geram \(\R^n\): \((x_1,\ldots,x_n) = \sum_ix_ie_i\).
\(1,x,\ldots,x^n\) geram \(\Pol{n}\); as matrizes \(E_{ij}\) geram \(\Mat{m}{n}\).
\((1,1),(1,-1),(2,5)\) geram \(\R^2\) — e o terceiro vetor sobra: os dois primeiros já geram.
De fato, \((2,5) = \tfrac72(1,1)-\tfrac32(1,-1)\). O Lema 2.42 diz que o terceiro vetor pode ser retirado sem perda.
\(\Poli\) não é finitamente gerado: se \(p_1,\ldots,p_m\) o gerassem, todo polinômio teria grau \(\leq\max_i\deg p_i\), e \(x^{1+\max\deg p_i}\) não teria.
Se \(u\in[v_1,\ldots,v_k]\), então \([v_1,\ldots,v_k,u] = [v_1,\ldots,v_k]\). Em palavras: acrescentar ou retirar de uma lista um vetor que é combinação linear dos demais não muda o subespaço gerado.
A inclusão \(\supset\) é clara. Para \(\subset\): se \(u = \sum_ib_iv_i\), então \[a_1v_1+\cdots+a_kv_k+cu = (a_1+cb_1)v_1+\cdots+(a_k+cb_k)v_k.\]
No Exemplo 1.57 não existia \(T\) linear com \(T(1,1) = (1,0)\) e \(T(2,2) = (0,1)\) porque havia uma relação linear entre os vetores de partida, \((2,2) = 2(1,1)\). E o Lema 2.42 diz que um vetor que é combinação linear dos demais pode ser retirado de uma lista sem mudar o subespaço gerado. Fica a pergunta: como saber, olhando uma lista, se algum vetor sobra? As relações lineares viram objeto de estudo (Definição 2.44).
Uma lista \(v_1,\ldots,v_k\) de vetores de \(V\) é linearmente independente (LI) se a única combinação linear nula deles é a trivial: \[a_1v_1+\cdots+a_kv_k = 0\quad\Longrightarrow\quad a_1 = \cdots = a_k = 0.\] Caso contrário, a lista é linearmente dependente (LD): existe uma combinação nula com algum coeficiente não nulo. A lista vazia é, por convenção, LI.
Não se trata de ver que a combinação trivial é nula (ela sempre é), e sim que só ela é. Como na Nota 2.26, é um enunciado de unicidade no zero: a Proposição 2.45 torna isso explícito.
A lista \(v_1,\ldots,v_k\) é LI se e somente se todo vetor de \([v_1,\ldots,v_k]\) se escreve de uma única maneira como combinação linear dos \(v_i\). Equivalentemente: a transformação linear \[T:\R^k\to V,\qquad T(a_1,\ldots,a_k) = a_1v_1+\cdots+a_kv_k\] é injetora. (Ela é sobrejetora se e somente se os \(v_i\) geram \(V\).)
\(T\) é linear (é a transformação da Proposição 1.53), e a lista é LI exatamente quando \(\Nuc(T) = \{0\}\), isto é, quando \(T\) é injetora (Proposição 1.60). A imagem de \(T\) é \([v_1,\ldots,v_k]\).
Seja \(k\geq2\).
\(v_1,\ldots,v_k\) são LD se e somente se algum \(v_j\) é combinação linear dos demais.
Se \(v_1,\ldots,v_k\) são LI e \(v_1,\ldots,v_k,u\) são LD, então \(u\in[v_1,\ldots,v_k]\).
O item (b) é o que vai ser usado, e vale dizer por quê com uma frase: se a lista era LI e deixou de ser quando \(u\) entrou, a culpa é de \(u\). Esse raciocínio aparece no Teorema 2.79 e na demonstração de que LI maximal gera (Teorema 2.57).
(a) Se \(\sum_ia_iv_i = 0\) com \(a_j\neq0\), isolamos \(v_j = -\sum_{i\neq j}\frac{a_i}{a_j}v_i\). Reciprocamente, se \(v_j = \sum_{i\neq j}b_iv_i\), então \(\sum_{i\neq j}b_iv_i-1\cdot v_j = 0\) é uma combinação nula com o coeficiente \(-1\neq0\).
(b) Existe \(\sum_ia_iv_i+cu = 0\) com coeficientes não todos nulos. Se fosse \(c = 0\), sobraria \(\sum_ia_iv_i = 0\) com algum \(a_i\neq0\), contra a independência dos \(v_i\). Logo \(c\neq0\) e \(u = -\sum_i\frac{a_i}{c}v_i\).
Casos pequenos. Um vetor sozinho é LI se e somente se é não nulo (pelo Corolário 1.8, \(\lambda v = 0\) com \(\lambda\neq0\) força \(v=0\)). Dois vetores são LD se e somente se um é múltiplo do outro. Três vetores de \(\R^3\) são LD se e somente se estão num mesmo plano pela origem. Toda lista que contenha o vetor nulo, ou um vetor repetido, é LD.
Três vetores de \(\R^3\), com \(v_1,v_2\) LI. À esquerda \(v_3\) está no plano \([v_1,v_2]\), e a lista é LD. À direita \(v_3\) sai do plano, e a lista é LI. A Proposição 2.46(b) é esta figura: a única maneira de estragar a independência acrescentando um vetor é acrescentá-lo dentro do subespaço já gerado.
\(e_1,\ldots,e_n\) são LI em \(\R^n\): \(\sum_ia_ie_i = (a_1,\ldots,a_n)\).
\(1,x,\ldots,x^n\) são LI em \(\Pol{n}\): um polinômio é nulo exatamente quando todos os coeficientes o são.
\(1,\ 1+x,\ 1+x+x^2\) são LI em \(\Pol{2}\). De \(a+b(1+x)+c(1+x+x^2) = 0\) vem, olhando o coeficiente de \(x^2\), \(c = 0\); depois o de \(x\), \(b = 0\); depois \(a = 0\). A lista é “triangular”, e se resolve de trás para diante.
Em \(\R^n\), testar independência é resolver um sistema homogêneo. Sejam \(v_1 = (1,2,3)\), \(v_2 = (2,1,-2)\), \(v_3 = (3,1,1)\), \(v_4 = (4,-1,-2)\). A equação \(xv_1+yv_2+zv_3+wv_4 = 0\) é, coordenada a coordenada, \[\begin{cases}x+2y+3z+4w = 0\\ 2x+y+z-w = 0\\ 3x-2y+z-2w = 0,\end{cases}\] isto é, o sistema cujas colunas são os vetores. Ele tem a solução não trivial \((x,y,z,w) = (11,1,-15,8)\), e portanto \[11v_1+v_2-15v_3+8v_4 = 0.\]
Havia chance de o sistema só ter a solução nula? São \(3\) equações e \(4\) incógnitas. Com mais incógnitas do que equações, sempre há solução não trivial (Lema 2.52) — e isso é o lema da troca (Lema 2.53).
Um sistema linear homogêneo com \(m\) equações e \(k>m\) incógnitas tem solução não trivial.
A demonstração é o escalonamento (Teorema 3.30) em miniatura.
Indução em \(m\). Considere o sistema \[a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+\cdots+a_{ik}x_k = 0,\qquad i = 1,\ldots,m.\] Se todos os coeficientes \(a_{i1}\) de \(x_1\) são nulos, \(x = (1,0,\ldots,0)\) é solução não trivial. Senão, reordenando as equações, \(a_{11}\neq0\). Para \(i\geq2\), subtraia da equação \(i\) a primeira multiplicada por \(a_{i1}/a_{11}\): obtêm-se \(m-1\) equações em que \(x_1\) não aparece, nas \(k-1\) incógnitas \(x_2,\ldots,x_k\).
Se \(m = 1\), não sobra equação nenhuma: escolha \(x_2 = 1\), \(x_3 = \cdots = x_k = 0\) (há \(x_2\), porque \(k\geq2\)).
Se \(m\geq2\), como \(k-1>m-1\), a hipótese de indução dá \((x_2,\ldots,x_k)\neq0\) resolvendo as \(m-1\) equações novas.
Em ambos os casos, defina \(x_1 = -\frac{1}{a_{11}}(a_{12}x_2+\cdots+a_{1k}x_k)\), que resolve a primeira equação. As equações originais \(i\geq2\) são as novas somadas com um múltiplo da primeira, e portanto também se anulam. A solução \((x_1,\ldots,x_k)\) é não trivial porque \((x_2,\ldots,x_k)\neq0\).
Se \(V = [u_1,\ldots,u_m]\) e \(v_1,\ldots,v_k\in V\) são LI, então \(k\leq m\).
Em palavras: mais vetores do que geradores significa mais incógnitas do que equações.
Suponha, por absurdo, \(k>m\). Cada \(v_j\) é combinação dos \(u_i\): \[v_j = a_{1j}u_1+a_{2j}u_2+\cdots+a_{mj}u_m,\qquad j = 1,\ldots,k.\] Para escalares \(c_1,\ldots,c_k\), \[\sum_{j=1}^kc_jv_j = \sum_{j=1}^kc_j\sum_{i=1}^ma_{ij}u_i = \sum_{i=1}^m\Big(\sum_{j=1}^ka_{ij}c_j\Big)u_i.\] O sistema \(\sum_ja_{ij}c_j = 0\) (\(i = 1,\ldots,m\)) tem \(m\) equações e \(k>m\) incógnitas; pelo Lema 2.52, tem solução \((c_1,\ldots,c_k)\neq0\). Para ela, todos os coeficientes dos \(u_i\) se anulam, e portanto \(\sum_jc_jv_j = 0\) com algum \(c_j\neq0\) — os \(v_j\) seriam LD. Absurdo.
A demonstração do lema da troca em uma matriz. A coluna \(j\) traz as coordenadas de \(v_j\) em relação a \(u_1,\ldots,u_m\). Com mais colunas do que linhas, o Lema 2.52 dá uma combinação não trivial das colunas que se anula; a mesma combinação dos \(v_j\) se anula.
Outra demonstração: substituição sucessiva (Steinitz). Esta demonstração não usa sistemas lineares, e explica o nome do lema: os \(v\) entram na lista geradora um de cada vez, cada um expulsando um \(u\).
Afirmação. Para cada \(r\leq\min(k,m)\), após renumerar os \(u_i\), \[[v_1,\ldots,v_r,\,u_{r+1},\ldots,u_m] = V.\] Passo. Suponha a afirmação para \(r-1\) (para \(r = 0\) é a hipótese). Então \[v_r = b_1v_1+\cdots+b_{r-1}v_{r-1}+c_ru_r+\cdots+c_mu_m.\] Algum \(c_i\) é não nulo: se todos fossem nulos, \(v_r\) seria combinação de \(v_1,\ldots,v_{r-1}\), e os \(v\) seriam LD. Renumerando, \(c_r\neq0\); isolando \(u_r\), ele é combinação de \(v_1,\ldots,v_r,u_{r+1},\ldots,u_m\), e pelo Lema 2.42 trocar \(u_r\) por \(v_r\) não altera o subespaço gerado, que continua sendo \(V\).
Conclusão. Se fosse \(k>m\), com \(r = m\) teríamos \([v_1,\ldots,v_m] = V\), e então \(v_{m+1}\in[v_1,\ldots,v_m]\), contra a independência.
A substituição de Steinitz. Em cada linha um \(v\) entra e um \(u\) sai, e a lista continua gerando \(V\). Se houvesse mais \(v\) do que \(u\), os \(u\) acabariam antes, e o \(v\) seguinte já estaria no espaço gerado pelos anteriores.
Se \(V\) é gerado por \(m\) vetores, quaisquer \(m+1\) vetores de \(V\) são LD. Em particular, quaisquer \(n+1\) vetores de \(\R^n\) são LD, e quaisquer \(n+2\) polinômios de \(\Pol{n}\) são LD.
Se \((e_1,e_2,e_3)\) gera \(V\) e \(v\in V\), a lista \((v,\ v-e_1,\ v-e_2,\ v-e_3)\) tem quatro vetores num espaço gerado por três, e é LD — sem conta. Ela gera \(V\), porque \(e_i = v-(v-e_i)\).
Seja \(B = (v_1,\ldots,v_k)\) uma lista de vetores de \(V\).
\(B\) é um gerador minimal de \(V\) se gera \(V\) e nenhuma lista obtida de \(B\) retirando um vetor gera \(V\).
\(B\) é LI maximal em \(V\) se é LI e, para todo \(u\in V\), a lista \((v_1,\ldots,v_k,u)\) é LD.
Para uma lista finita \(B = (v_1,\ldots,v_k)\) de vetores de \(V\), são equivalentes:
\(B\) é um gerador minimal de \(V\);
\(B\) gera \(V\) e é LI;
\(B\) é LI maximal em \(V\).
Os três casos em \(\R^2\). À esquerda sobra um vetor (qualquer um dos três); no meio falta um vetor (qualquer um fora da reta); à direita não sobra nem falta. O teorema diz que “não sobra” e “não falta” acontecem juntos.
Uma lista com essas três propriedades se chama base (Definição 2.64).
(a)\(\Rightarrow\)(b). Se \(B\) fosse LD, algum \(v_j\) seria combinação dos demais (Proposição 2.46(a)), e retirá-lo não mudaria o subespaço gerado (Lema 2.42): a lista menor ainda geraria \(V\), contra a minimalidade.
(b)\(\Rightarrow\)(a). Se, retirando \(v_j\), a lista ainda gerasse \(V\), então \(v_j\) seria combinação dos demais, e \(B\) seria LD.
(b)\(\Rightarrow\)(c). Todo \(u\in V = [B]\) é combinação dos \(v_i\), e então a lista \((v_1,\ldots,v_k,u)\) é LD pela Proposição 2.46(a).
(c)\(\Rightarrow\)(b). Dado \(u\in V\), a lista \((v_1,\ldots,v_k,u)\) é LD e \(B\) é LI; pela Proposição 2.46(b), \(u\in[B]\). Logo \(B\) gera \(V\).
O que o teorema não diz. O Teorema 2.57 não diz que todo gerador LI tem o mesmo número de elementos, nem que existe um gerador finito. Com o lema da troca, a primeira afirmação sai em duas linhas; a segunda depende de \(V\) ser finitamente gerado. São a Teorema 2.74 e a Teorema 2.73.
\(1,\cos t,\sen t\) são LI. De \(a+b\cos t+c\sen t = 0\) para todo \(t\): em \(t = 0\), \(a+b = 0\); em \(t = \pi\), \(a-b = 0\); logo \(a = b = 0\), e em \(t = \pi/2\) vem \(c = 0\).
\(e^t,e^{2t}\) são LI. De \(ae^t+be^{2t} = 0\): em \(t = 0\), \(a+b = 0\); em \(t = \ln2\), \(2a+4b = 0\); logo \(a = b = 0\).
\(1,\cos^2t,\sen^2t\) são LD: \(1-\cos^2t-\sen^2t = 0\). E \(1,\cos^2t,\cos2t\) também: \(1-2\cos^2t+\cos2t = 0\).
\(1,t,t^2,t^3,\ldots\) é uma família infinita LI em \(\mathcal{F}(\R,\R)\): toda sub-lista finita é LI (um polinômio que se anula em todo \(t\) tem todos os coeficientes nulos). Pelo Corolário 2.54, \(\mathcal{F}(\R,\R)\) não é finitamente gerado.
Em \(\mathcal{F}(\R,\R)\), a igualdade \(\sum_ia_if_i = 0\) vale em cada \(t\), e escolher pontos transforma a pergunta num sistema linear nos \(a_i\) (Nota 1.34). Atenção à lógica: pontos bem escolhidos provam independência (se o sistema nos pontos só tem a solução nula, acabou), mas pontos mal escolhidos não provam dependência. No Exemplo 2.59, só com \(t = 0\) e \(t = 2\pi\) teríamos duas vezes a mesma equação.