Início · Capítulo 2 · Subespaços, geradores e bases
Para \(T:V\to W\) linear, os conjuntos \(\Nuc(T)\subset V\) e \(\Ima(T)\subset W\) contêm o vetor nulo e são fechados por combinações lineares (Definição 1.58). E o mesmo argumento apareceu duas vezes, na Nota 1.25 e na Proposição 1.51: os axiomas são herdados do espaço maior, e só é preciso verificar que as operações não saem do subconjunto. Esse argumento vira definição (Definição 2.2) e critério (Proposição 2.3).
Um subconjunto \(S\) de um espaço vetorial \(V\) é um subespaço vetorial de \(V\) se
\(0\in S\);
\(u,v\in S\Rightarrow u+v\in S\);
\(v\in S\), \(\lambda\in\R\Rightarrow\lambda v\in S\).
A condição (i) garante que \(S\) não é vazio, e é o teste mais rápido de não-subespaço: se \(0\notin S\), acabou. Pode-se trocar (i) por “\(S\neq\emptyset\)”, mas é (i) que se verifica na prática.
Se \(S\) é subespaço de \(V\), então \(S\), com a soma e o produto por escalar de \(V\) restritos a \(S\), é um espaço vetorial. Além disso, as condições (ii) e (iii) juntas equivalem a: \(u+\lambda v\in S\) para todos \(u,v\in S\), \(\lambda\in\R\).
Por (ii) e (iii), as operações de \(V\) restritas a \(S\) têm valores em \(S\). Os axiomas (A1), (A2), (M1), (M2), (D1), (D2) são igualdades que valem para todos os vetores de \(V\), logo em particular para os de \(S\). (A3): o vetor nulo de \(V\) está em \(S\) por (i). (A4): se \(v\in S\), então \(-v = (-1)v\in S\) por (iii) e pelo item (c) da Proposição 1.7.
Para a segunda afirmação: se (ii) e (iii) valem, \(\lambda v\in S\) e então \(u+\lambda v\in S\). Reciprocamente, \(\lambda = 1\) dá (ii) e \(u = 0\) dá (iii) (usando (i)).
\(\{0\}\) e \(V\) são subespaços de \(V\) (os triviais).
Em \(\R^2\), as retas pela origem, \(\{t\,v: t\in\R\}\) com \(v\neq0\), são subespaços. Em \(\R^3\), as retas e os planos pela origem.
\(\Nuc(T)\) e \(\Ima(T)\), para \(T\) linear, são subespaços (Definição 1.58). Em particular, o conjunto solução de um sistema homogêneo \(AX = 0\) é o subespaço \(N(T_A)\) de \(\R^n\).
\(\Simet = \{A: A^t = A\}\) e \(\mathcal{A} = \{A: A^t = -A\}\) são subespaços de \(\Mat{n}{n}\): \((A+\lambda B)^t = A^t+\lambda B^t\).
\(\Pol{n}\subset \Poli\); \(C^\infty(\R)\subset C^k(\R)\subset C^0(\R)\subset \mathcal{F}(\R,\R)\).
Em cada inclusão, o conjunto menor é subespaço do maior.
\(\{p\in \Pol{5}: p(0) = 2p(1)\}\) é subespaço de \(\Pol{5}\): é o núcleo da transformação linear \(p\mapsto p(0)-2p(1)\) (Exemplo 2.6).
O truque é geral: um subconjunto definido por equações lineares homogêneas é um núcleo, e portanto é subespaço sem conta nenhuma.
Cada uma das três condições da Definição 2.2 pode falhar sozinha.
Falha (i) apenas. \(\{A\in\mathcal{M}_{2\times2}: \det A\neq0\}\) não contém \(0\). (Também falha (ii): \(I+(-I) = 0\).) Um exemplo em que só (i) falha: \(\emptyset\).
Cada uma das três condições da Definição 2.2 pode falhar sozinha.
Falha (ii) apenas. \(\{(x,y,z): x^2 = y^2\}\) contém \(0\) e é fechado por múltiplos, mas \((1,1,0)+(1,-1,0) = (2,0,0)\) não satisfaz \(x^2=y^2\). É a união de dois planos, \(x = y\) e \(x = -y\).
Cada uma das três condições da Definição 2.2 pode falhar sozinha.
Falha (iii) apenas. \(\{(x,y,z): x\in\mathbb{Z}\}\) contém \(0\) e é fechado por somas, mas \(\tfrac12(1,0,0)\) não está nele. Também \(\{p\in P_3: p(t)\geq0\ \forall t\}\): contém \(0\), é fechado por somas, mas \(-1\cdot p\) sai do conjunto quando \(p\neq0\).
Em \(\R^2\), os subespaços não triviais são exatamente as retas pela origem. Os outros três painéis são conjuntos que falham, cada um, numa das três condições da Definição 2.2: uma reta que não passa pela origem; a união dos dois eixos, que não é fechada pela soma; o primeiro quadrante, que é fechado pela soma mas não por múltiplos negativos. O terceiro painel é a união de dois subespaços (Proposição 2.16).
Verdadeiro ou falso? Se \(A\subset V\) é não vazio e \(u+v,\ u-v\in A\) para todos \(u,v\in A\), então \(A\) é subespaço.
Falso. Em \(V = \R\), o conjunto \(A = \mathbb{Z}\) dos inteiros satisfaz as hipóteses e não é fechado por múltiplos. A hipótese garante (i) e (ii), e nada diz sobre (iii) — é o Exemplo 2.12, em dimensão um.
A interseção de uma família qualquer de subespaços de \(V\) é um subespaço de \(V\).
Sejam \(S_i\), \(i\in I\), subespaços, e \(S = \bigcap_iS_i\). O vetor nulo está em todos, logo em \(S\). Se \(u,v\in S\) e \(\lambda\in\R\), então \(u,v\in S_i\) para todo \(i\), logo \(u+\lambda v\in S_i\) para todo \(i\), isto é, \(u+\lambda v\in S\).
Sejam \(S_1,S_2\) subespaços de \(V\). Então \(S_1\cup S_2\) é subespaço se e somente se \(S_1\subset S_2\) ou \(S_2\subset S_1\).
A demonstração é o terceiro painel da Nota 2.13 em geral: \(e_1\) está num eixo e não no outro, \(e_2\) idem, e \(e_1+e_2\) não está em nenhum; \(s_1\) é o \(e_1\), \(s_2\) é o \(e_2\). A pergunta que fica: se a união não serve, qual é o menor subespaço que contém \(S_1\) e \(S_2\)? É a soma (Proposição 2.20).
Se \(S_1\subset S_2\), a união é \(S_2\); e analogamente no outro caso. Reciprocamente, suponha que nenhum contenha o outro: existem \(s_1\in S_1\setminus S_2\) e \(s_2\in S_2\setminus S_1\). Afirmamos que \(s_1+s_2\notin S_1\cup S_2\). Se estivesse em \(S_1\), então \(s_2 = (s_1+s_2)-s_1\in S_1\), contra a escolha de \(s_2\). Se estivesse em \(S_2\), então \(s_1 = (s_1+s_2)-s_2\in S_2\), contra a escolha de \(s_1\). Logo a união não é fechada pela soma.
Seja \(A\subset V\) não vazio. O subespaço gerado por \(A\) é o conjunto das combinações lineares de elementos de \(A\): \[[A] = \{a_1v_1+\cdots+a_kv_k:\ k\geq1,\ v_i\in A,\ a_i\in\R\}.\] Convenciona-se \([\emptyset] = \{0\}\). Se \(A = \{v_1,\ldots,v_k\}\), escrevemos \([v_1,\ldots,v_k]\).
Em movimento: Linear combinations, span, and basis vectors — 3Blue1Brown (vídeo e texto, em inglês).
\([A]\) é um subespaço de \(V\) que contém \(A\), e está contido em qualquer subespaço que contenha \(A\). Isto é: \([A]\) é o menor subespaço de \(V\) que contém \(A\).
Subespaço: \(0 = 0\cdot v\) para qualquer \(v\in A\); a soma de duas combinações lineares de elementos de \(A\) é uma combinação linear de elementos de \(A\) (junte as duas listas), e um múltiplo também. Contém \(A\): \(v = 1\cdot v\). É o menor: se \(S\) é subespaço e \(A\subset S\), então, aplicando repetidamente (ii) e (iii), toda combinação linear de elementos de \(A\) está em \(S\).
Sejam \(S_1,S_2\) subespaços de \(V\). A soma de \(S_1\) e \(S_2\) é \[S_1+S_2 = \{s_1+s_2:\ s_1\in S_1,\ s_2\in S_2\}.\]
\(S_1+S_2\) é o menor subespaço de \(V\) que contém \(S_1\cup S_2\); isto é, \(S_1+S_2 = [S_1\cup S_2]\). Em particular, se \(S_1 = [A_1]\) e \(S_2 = [A_2]\), então \(S_1+S_2 = [A_1\cup A_2]\).
Subespaço: \(0 = 0+0\); e \((s_1+s_2)+\lambda(t_1+t_2) = (s_1+\lambda t_1)+(s_2+\lambda t_2)\). Contém \(S_1\cup S_2\): \(s_1 = s_1+0\) e \(s_2 = 0+s_2\). É o menor: um subespaço que contenha \(S_1\) e \(S_2\) contém as somas \(s_1+s_2\), por (ii). A última afirmação: \([A_1\cup A_2]\) contém \(A_1\) e \(A_2\), logo contém \(S_1\) e \(S_2\) (Proposição 2.18), logo contém \(S_1+S_2\); e \(S_1+S_2\) é subespaço e contém \(A_1\cup A_2\), logo contém \([A_1\cup A_2]\).
Em \(\R^3\), \([e_1]+[e_2]\) é o plano \(z = 0\). Em \(\R^2\), a soma de duas retas distintas pela origem é \(\R^2\).
A soma de duas retas de \(\R^3\) é o plano que elas determinam. Cada vetor do plano é a diagonal de um paralelogramo com lados nas duas retas. A união das retas, ao contrário, é só a “cruz” colorida.
Em \(\R^3\), o plano \(z=0\) somado com o plano \(x=0\) é \(\R^3\): \((a,b,c) = (a,b,0)+(0,0,c)\). Mas a interseção deles é o eixo \(y\), e a escrita não é única: \((a,b,c) = (a,b-t,0)+(0,t,c)\) para todo \(t\).
A soma dá tudo, mas a decomposição não é única. A liberdade vem da interseção: é a Proposição 2.25.
Em \(\Mat{n}{n}\), \(\Simet+\mathcal{A}\) é o espaço todo: \[A = \tfrac12(A+A^t)+\tfrac12(A-A^t),\] com a primeira parcela simétrica e a segunda antissimétrica.
Dizemos que \(V\) é soma direta dos subespaços \(S_1\) e \(S_2\), e escrevemos \(V = S_1\oplus S_2\), quando \[V = S_1+S_2\qquad\text{e}\qquad S_1\cap S_2 = \{0\}.\] Nesse caso, \(S_2\) é um complementar de \(S_1\) em \(V\) (e vice-versa).
Sejam \(S_1,S_2\) subespaços de \(V\). São equivalentes:
\(V = S_1\oplus S_2\);
todo \(v\in V\) se escreve de uma única maneira como \(v = s_1+s_2\), com \(s_1\in S_1\) e \(s_2\in S_2\);
\(V = S_1+S_2\), e \(s_1+s_2 = 0\) com \(s_i\in S_i\) implica \(s_1 = s_2 = 0\).
\(\R^2 = S_1\oplus S_2\) com duas retas quaisquer (não necessariamente perpendiculares). Por \(v\) traçam-se paralelas às duas retas; os cortes dão \(s_1\) e \(s_2\), e só há uma maneira de fazê-lo. As componentes \(\pi_1(v)\) e \(\pi_2(v)\) dependem das duas retas: mudando \(S_2\), muda também \(\pi_1(v)\).
(a)\(\Rightarrow\)(b). A existência é \(V = S_1+S_2\). Se \(s_1+s_2 = t_1+t_2\), então \[s_1-t_1 = t_2-s_2.\] O lado esquerdo está em \(S_1\) e o direito em \(S_2\); logo os dois estão em \(S_1\cap S_2 = \{0\}\), e \(s_1 = t_1\), \(s_2 = t_2\).
(b)\(\Rightarrow\)(c). \(0 = 0+0\) é uma decomposição de \(0\); pela unicidade, é a única.
(c)\(\Rightarrow\)(a). Se \(v\in S_1\cap S_2\), então \(v+(-v) = 0\) com \(v\in S_1\) e \(-v\in S_2\); por (c), \(v = 0\).
A forma (c) da Proposição 2.25 é a que se generaliza e a que se usa nas demonstrações: basta testar a unicidade na decomposição do zero. Há uma analogia com a Proposição 1.60: \(T\) injetora \(\iff \Nuc(T) = \{0\}\) também reduz uma unicidade qualquer à unicidade no zero. Não é coincidência: (c) diz que a transformação linear \((s_1,s_2)\mapsto s_1+s_2\) tem núcleo nulo. Esse ponto de vista usa o produto cartesiano (Definição 2.90).
\(\R^2 = S_1\oplus S_2\) para quaisquer duas retas distintas pela origem.
\(\Mat{n}{n} = \Simet\oplus\mathcal{A}\). A soma dá tudo (Exemplo 2.23); e se \(A\in\Simet\cap\mathcal{A}\), então \(A = A^t = -A\), donde \(A = 0\). Por exemplo: \[\begin{pmatrix}2&1&-1\\1&1&-1\\0&-2&3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2&1&-\frac12\\1&1&-\frac32\\-\frac12&-\frac32&3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0&0&-\frac12\\0&0&\frac12\\\frac12&-\frac12&0\end{pmatrix}.\]
\(\mathcal{F}(\R,\R) = \mathcal{P}\oplus\mathcal{I}\), as funções pares e as ímpares: \[f(x) = \underbrace{\tfrac12\big(f(x)+f(-x)\big)}_{\text{par}} +\underbrace{\tfrac12\big(f(x)-f(-x)\big)}_{\text{ímpar}},\] e uma função par e ímpar satisfaz \(f(x) = f(-x) = -f(x)\), logo é nula. Para \(f = e^x\), a decomposição é \(e^x = \cosh x+\operatorname{senh}x\).
O Exemplo 2.28 e o Exemplo 2.29 são a mesma conta: “parte simétrica e antissimétrica” e “parte par e ímpar” são a média de um vetor com a sua imagem por uma operação que, feita duas vezes, dá a identidade (\(A\mapsto A^t\), \(f(x)\mapsto f(-x)\)). Os dois subespaços de cada decomposição são os autoespaços de autovalores \(+1\) e \(-1\) dessas operações (Definição 8.1).
Não-exemplo. \(\R^3\) com o plano \(z = 0\) e o plano \(x = 0\): a soma é \(\R^3\) mas não é direta (Exemplo 2.22).
Com três ou mais subespaços, interseções duas a duas nulas não bastam. Em \(\R^2\), tome três retas distintas \(S_1,S_2,S_3\) pela origem. Elas se intersectam duas a duas só em \(0\), mas a decomposição de um vetor como \(s_1+s_2+s_3\) não é única: o zero se escreve como soma de três vetores não nulos, um em cada reta. A definição correta de \(V = S_1\oplus\cdots\oplus S_k\) é a versão (b) (ou (c)) da Proposição 2.25: unicidade da decomposição.
O mesmo desenho refuta a igualdade \(S_1\cap(S_2+S_3) = (S_1\cap S_2)+(S_1\cap S_3)\), a “lei distributiva” entre \(\cap\) e \(+\): o lado esquerdo é \(S_1\cap\R^2 = S_1\), e o direito é \(\{0\}+\{0\} = \{0\}\).
Três retas no plano. Duas a duas, as interseções são nulas; mas os três vetores coloridos somam zero, e então o zero tem duas decomposições. A definição de soma direta de muitos subespaços tem de ser a da unicidade.
Três retas no plano. Duas a duas, as interseções são nulas; mas os três vetores coloridos somam zero, e então o zero tem duas decomposições. A definição de soma direta de muitos subespaços tem de ser a da unicidade.
Seja \(V = S_1\oplus S_2\) e, para \(v = s_1+s_2\) (a única decomposição), ponha \(\pi_1(v) = s_1\) e \(\pi_2(v) = s_2\). Então:
\(\pi_1\) e \(\pi_2\) são lineares, e \(\pi_1+\pi_2 = \mathrm{Id}\);
\(\pi_1\circ\pi_1 = \pi_1\), \(\Ima(\pi_1) = S_1\) e \(N(\pi_1) = S_2\) (e o mesmo para \(\pi_2\), trocando os papéis).
(a) Sejam \(v = s_1+s_2\) e \(w = t_1+t_2\). Então \[v+\lambda w = (s_1+\lambda t_1)+(s_2+\lambda t_2),\] com a primeira parcela em \(S_1\) e a segunda em \(S_2\). Pela unicidade, essa é a decomposição de \(v+\lambda w\), e portanto \(\pi_1(v+\lambda w) = s_1+\lambda t_1 = \pi_1(v)+\lambda\pi_1(w)\). E \(\pi_1(v)+\pi_2(v) = s_1+s_2 = v\).
(b) Se \(s\in S_1\), sua decomposição é \(s = s+0\), logo \(\pi_1(s) = s\). Como \(\pi_1(v)\in S_1\), isso dá \(\pi_1(\pi_1(v)) = \pi_1(v)\), e também \(\Ima(\pi_1) = S_1\). Finalmente, \(\pi_1(v) = 0\iff v = 0+s_2\iff v\in S_2\).
\(\R^2 = S_1\oplus S_2\) com duas retas quaisquer (não necessariamente perpendiculares). Por \(v\) traçam-se paralelas às duas retas; os cortes dão \(s_1\) e \(s_2\), e só há uma maneira de fazê-lo. As componentes \(\pi_1(v)\) e \(\pi_2(v)\) dependem das duas retas: mudando \(S_2\), muda também \(\pi_1(v)\).
A projeção \(\pi_1\) é “andar paralelamente a \(S_2\) até bater em \(S_1\)”. As retas são oblíquas de propósito: decompor não é “projetar perpendicularmente”; isso só faz sentido com um produto interno (Definição 6.2). Como a componente em \(S_1\) muda quando se muda \(S_2\), um subespaço tem muitos complementares (Corolário 2.83).
Para \(\Mat{n}{n} = \Simet\oplus\mathcal{A}\), a projeção sobre \(\Simet\) é \(T(A) = \tfrac12(A+A^t)\). A Proposição 2.33 dá, sem conta, \(\Ima(T) = \Simet\), \(\Nuc(T) = \mathcal{A}\) e \(T^2 = T\).
Se \(T:V\to V\) é linear e \(T^2 = T\), então \(V = \Nuc(T)\oplus\Ima(T)\) e \(T\) é a projeção sobre \(\Ima(T)\) ao longo de \(\Nuc(T)\).
É a recíproca da Proposição 2.33. Decomposições em soma direta e operadores idempotentes são, portanto, a mesma coisa.
A decomposição é \[v = \underbrace{T(v)}_{\in\,\Ima(T)}+\underbrace{(v-T(v))}_{\in\,\Nuc(T)},\] e \(\Nuc(T)\cap\Ima(T) = \{0\}\): se \(v = T(u)\) e \(T(v) = 0\), então \(0 = T(v) = T^2(u) = T(u) = v\). O truque \(v = T(v)+(v-T(v))\) reaparece muitas vezes no curso.