Produto interno, norma e ortogonalidade

Um produto interno num espaço vetorial real \(V\) é uma função \(\langle\cdot,\cdot\rangle:V\times V\to\R\) que é

1. bilinear: linear em cada variável, com a outra fixa;

2. simétrica: \(\langle u,v\rangle = \langle v,u\rangle\);

3. positiva definida: \(\langle v,v\rangle>0\) para todo \(v\neq0\).

A norma de \(v\) é \(\|v\| = \sqrt{\langle v,v\rangle}\). Dizemos que \(u\) e \(v\) são ortogonais, \(u\perp v\), se \(\langle u,v\rangle = 0\).