Existência e unicidade da adjunta
Sejam \(V\) e \(W\) com produto interno, de dimensão finita, e \(T:V\to W\) linear. Existe uma única \(T^\dagger:W\to V\) linear com \[\langle T(v),w\rangle_W = \langle v,T^\dagger(w)\rangle_V\qquad\text{para todos } v\in V,\ w\in W.\]
A adjunta e a transposta. A transposta (embaixo) existe sempre e anda entre duais. A adjunta (em cima) exige produtos internos e anda entre os próprios espaços; ela é a única seta de cima que faz o quadrado comutar.
Demonstração
Fixe \(w\). A função \(v\mapsto\langle T(v),w\rangle_W\) é um funcional em \(V\) (é \(T^*(G_W(w))\), com \(T^*\) a transposta, Definição 5.15). Pelo Teorema 6.34, existe um único vetor — chame-o \(T^\dagger(w)\) — com \(\langle T(v),w\rangle = \langle v,T^\dagger(w)\rangle\) para todo \(v\). Em fórmula: \(T^\dagger = G_V^{-1}\circ T^*\circ G_W\), que é linear por ser composta de lineares.