Proposição 6.32

Determinante de Gram

RequerDefinição 6.2Produto interno, norma e ortogonalidade Definição 2.44Independência e dependência linear Teorema 4.6Existência do determinante: a fórmula de Leibniz

A demonstração exigeCorolário 6.18Existência de base ortonormal Proposição 6.15Coordenadas numa base ortonormal Teorema 4.21\(\det(AB) = \det A\cdot\det B\)Teorema 4.13\(\det A^t = \det A\)Teorema 4.11\(\det A\neq0\) equivale a \(A\) invertível

Sejam \(v_1,\ldots,v_k\in V\) e \(\Gamma = (\langle v_i,v_j\rangle)_{i,j}\). Então \(\det\Gamma\geq0\), com igualdade se e somente se os \(v_i\) são LD.

Demonstração

Seja \(U = [v_1,\ldots,v_k]\), \(d = \dim U\), e tome uma base ortonormal de \(U\) (Corolário 6.18). Seja \(M\) a matriz \(d\times k\) cujas colunas são as coordenadas dos \(v_i\) nessa base. Pela Proposição 6.15, \(\Gamma = M^tM\). Se os \(v_i\) são LD, existe \(X\neq0\) com \(MX = 0\), logo \(\Gamma X = 0\) e \(\det\Gamma = 0\). Se são LI, então \(d = k\), \(M\) é quadrada e invertível, e \(\det\Gamma = \det(M^t)\det M = (\det M)^2>0\).

Usado emExemplo 6.33A matriz de Gram de três vetores de \(\R^3\)

prop-gram

Vizinhança no grafo