A reta que melhor ajusta quatro pontos

A reta \(y = a+bx\) que melhor ajusta \((0,1)\), \((1,3)\), \((2,4)\), \((3,4)\). O sistema impossível é \(a+bx_i = y_i\): \[A = \begin{pmatrix}1&0\\1&1\\1&2\\1&3\end{pmatrix},\quad b = \begin{pmatrix}1\\3\\4\\4\end{pmatrix},\qquad A^tA = \begin{pmatrix}4&6\\6&14\end{pmatrix},\quad A^tb = \begin{pmatrix}12\\23\end{pmatrix}.\] As equações normais \(4a+6b = 12\), \(6a+14b = 23\) dão \(a = \tfrac32\), \(b = 1\): a reta \(y = \tfrac32+x\). Os resíduos \(y_i-(a+bx_i)\) são \(-\tfrac12,\tfrac12,\tfrac12,-\tfrac12\); eles são perpendiculares às duas colunas de \(A\): somam zero, e \(0\cdot(-\tfrac12)+1\cdot\tfrac12+2\cdot\tfrac12+3\cdot(-\tfrac12) = 0\).

O ajuste por mínimos quadrados. Em \(\R^4\), o vetor dos quatro resíduos é \(b-AX_0\), perpendicular ao plano \(\Ima(T_A)\) — a figura do Teorema 6.28 com \(S = \Ima(T_A)\) e \(v = b\). Aqui ela aparece desenhada no plano dos dados, onde a perpendicularidade não se vê.

Há duas figuras para o mesmo problema: a dos dados, que é a que se desenha num relatório, e a de \(\R^4\) (a do Teorema 6.28), que é a que explica a solução. A condição “resíduos somam zero” é a perpendicularidade à coluna de \(1\)’s; ela diz que a reta passa pelo ponto médio \((\bar x,\bar y) = (\tfrac32,3)\).