A projeção ortogonal é a melhor aproximação
Para todo \(s\in S\) com \(s\neq P_Sv\), \[\|v-P_Sv\|<\|v-s\|.\] Isto é: \(P_Sv\) é o único ponto de \(S\) mais próximo de \(v\).
O pé da perpendicular é o ponto mais próximo. Para qualquer outro \(s\in S\), o triângulo \(v\), \(P_Sv\), \(s\) tem ângulo reto em \(P_Sv\), e a hipotenusa \(\|v-s\|\) é maior que o cateto \(\|v-P_Sv\|\). É a demonstração inteira do teorema.
Em uma frase: o erro da melhor aproximação é perpendicular ao subespaço.
Demonstração
Escreva \(v-s = (v-P_Sv)+(P_Sv-s)\). A primeira parcela está em \(S^\perp\) e a segunda em \(S\); por Pitágoras, \[\|v-s\|^2 = \|v-P_Sv\|^2+\|P_Sv-s\|^2>\|v-P_Sv\|^2,\] porque \(P_Sv-s\neq0\).
thm-aprox