A melhor aproximação de \(t^3\) por polinômios de grau \(\leq1\)

Em \(\Pol{3}\) com \(\langle p,q\rangle = \int_{-1}^1pq\), a melhor aproximação de \(t^3\) por polinômios de grau \(\leq1\). Pelo Exemplo 6.20, \(\big(\tfrac{1}{\sqrt2},\sqrt{\tfrac32}\,t\big)\) é base ortonormal de \(\Pol{1}\). Como \(\langle t^3,1\rangle = 0\) e \(\langle t^3,t\rangle = \tfrac25\), \[P_{P_1}(t^3) = \tfrac32\cdot\tfrac25\,t = \tfrac35\,t.\] Confira que o erro \(t^3-\tfrac35t\) é perpendicular a \(P_1\): \(\int_{-1}^1(t^3-\tfrac35t)\,dt = 0\) (é ímpar) e \(\int_{-1}^1(t^4-\tfrac35t^2)\,dt = \tfrac25-\tfrac35\cdot\tfrac23 = 0\).

A resposta não é a reta tangente nem a reta pelos extremos: é a reta que minimiza o erro quadrático médio em \([-1,1]\). Mudar o produto interno (por exemplo, integrar em \([0,1]\)) muda a resposta. E \(t^3-\frac35t\) é, a menos de múltiplo, o quarto polinômio de Legendre: é o que Gram–Schmidt daria no passo seguinte do Exemplo 6.20.