Definição 2.44

Independência e dependência linear

Uma lista \(v_1,\ldots,v_k\) de vetores de \(V\) é linearmente independente (LI) se a única combinação linear nula deles é a trivial: \[a_1v_1+\cdots+a_kv_k = 0\quad\Longrightarrow\quad a_1 = \cdots = a_k = 0.\] Caso contrário, a lista é linearmente dependente (LD): existe uma combinação nula com algum coeficiente não nulo. A lista vazia é, por convenção, LI.

Não se trata de ver que a combinação trivial é nula (ela sempre é), e sim que só ela é. Como na Nota 2.26, é um enunciado de unicidade no zero: a Proposição 2.45 torna isso explícito.

Usado emDefinição 2.64Base Definição 2.56Gerador minimal e LI maximal Exemplo 2.51Em \(\R^n\), testar independência é resolver um sistema homogêneo Exemplo 2.59\(1,\cos t,\sen t\) são LI Exemplo 2.60\(e^t,e^{2t}\) são LI Exemplo 2.61\(1,\cos^2t,\sen^2t\) são LD Exemplo 2.48\(e_1,\ldots,e_n\) são LI em \(\R^n\)Exemplo 2.49\(1,x,\ldots,x^n\) são LI em \(\Pol{n}\)Exemplo 2.50Uma lista “triangular” de polinômios é LI Exercício 3.44Vetores dois a dois LI formam uma lista LI?Lema 2.53Lema da troca Proposição 7.9Propriedades das formas alternadas Proposição 6.32Determinante de Gram Proposição 2.46Uma lista é LD quando algum vetor é combinação dos demais Proposição 2.45LI equivale a escrita única Proposição 6.14Vetores ortogonais não nulos são LI Proposição 4.3Propriedades das formas \(n\)-lineares alternadas Teorema 6.9Desigualdade de Cauchy–Schwarz Teorema 6.17Gram–Schmidt Teorema 4.11\(\det A\neq0\) equivale a \(A\) invertível Teorema 8.15Autovetores de autovalores distintos são LI

Veja tambémMotivação 2.43Relações lineares e vetores que sobram Nota 2.26Basta testar a unicidade no zero Proposição 2.45LI equivale a escrita única

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Vizinhança no grafo