Uma lista é LD quando algum vetor é combinação dos demais
Seja \(k\geq2\).
\(v_1,\ldots,v_k\) são LD se e somente se algum \(v_j\) é combinação linear dos demais.
Se \(v_1,\ldots,v_k\) são LI e \(v_1,\ldots,v_k,u\) são LD, então \(u\in[v_1,\ldots,v_k]\).
O item (b) é o que vai ser usado, e vale dizer por quê com uma frase: se a lista era LI e deixou de ser quando \(u\) entrou, a culpa é de \(u\). Esse raciocínio aparece no Teorema 2.79 e na demonstração de que LI maximal gera (Teorema 2.57).
Demonstração
(a) Se \(\sum_ia_iv_i = 0\) com \(a_j\neq0\), isolamos \(v_j = -\sum_{i\neq j}\frac{a_i}{a_j}v_i\). Reciprocamente, se \(v_j = \sum_{i\neq j}b_iv_i\), então \(\sum_{i\neq j}b_iv_i-1\cdot v_j = 0\) é uma combinação nula com o coeficiente \(-1\neq0\).
(b) Existe \(\sum_ia_iv_i+cu = 0\) com coeficientes não todos nulos. Se fosse \(c = 0\), sobraria \(\sum_ia_iv_i = 0\) com algum \(a_i\neq0\), contra a independência dos \(v_i\). Logo \(c\neq0\) e \(u = -\sum_i\frac{a_i}{c}v_i\).