Gerador minimal, gerador LI e LI maximal são o mesmo
Para uma lista finita \(B = (v_1,\ldots,v_k)\) de vetores de \(V\), são equivalentes:
\(B\) é um gerador minimal de \(V\);
\(B\) gera \(V\) e é LI;
\(B\) é LI maximal em \(V\).
Os três casos em \(\R^2\). À esquerda sobra um vetor (qualquer um dos três); no meio falta um vetor (qualquer um fora da reta); à direita não sobra nem falta. O teorema diz que “não sobra” e “não falta” acontecem juntos.
Uma lista com essas três propriedades se chama base (Definição 2.64).
Demonstração
(a)\(\Rightarrow\)(b). Se \(B\) fosse LD, algum \(v_j\) seria combinação dos demais (Proposição 2.46(a)), e retirá-lo não mudaria o subespaço gerado (Lema 2.42): a lista menor ainda geraria \(V\), contra a minimalidade.
(b)\(\Rightarrow\)(a). Se, retirando \(v_j\), a lista ainda gerasse \(V\), então \(v_j\) seria combinação dos demais, e \(B\) seria LD.
(b)\(\Rightarrow\)(c). Todo \(u\in V = [B]\) é combinação dos \(v_i\), e então a lista \((v_1,\ldots,v_k,u)\) é LD pela Proposição 2.46(a).
(c)\(\Rightarrow\)(b). Dado \(u\in V\), a lista \((v_1,\ldots,v_k,u)\) é LD e \(B\) é LI; pela Proposição 2.46(b), \(u\in[B]\). Logo \(B\) gera \(V\).