Propriedades das formas \(n\)-lineares alternadas
Seja \(f\) uma forma \(n\)-linear alternada. Então:
trocar duas entradas troca o sinal de \(f\);
somar a uma entrada um múltiplo de outra não altera \(f\);
se \(v_1,\ldots,v_n\) são LD, então \(f(v_1,\ldots,v_n) = 0\).
Na figura da Motivação 4.1: (a) é “trocar a ordem inverte a orientação”; (b) é o cisalhamento; (c) é “achatou, volume zero”.
Demonstração
(a) Fixe \(i\neq j\) e considere a função de duas variáveis obtida congelando as demais. Pela propriedade alternada aplicada ao par \((u+v,\,u+v)\): \[0 = f(\ldots,u+v,\ldots,u+v,\ldots) = \underbrace{f(\ldots,u,\ldots,u,\ldots)}_{=0} + f(\ldots,u,\ldots,v,\ldots)\] \[\qquad\qquad + f(\ldots,v,\ldots,u,\ldots) + \underbrace{f(\ldots,v,\ldots,v,\ldots)}_{=0},\] onde abrimos as duas entradas pela \(n\)-linearidade. Sobra \(f(\ldots,u,\ldots,v,\ldots) = -f(\ldots,v,\ldots,u,\ldots)\).
(b) Pela \(n\)-linearidade na \(i\)-ésima entrada, \[f(\ldots,v_i+\lambda v_j,\ldots,v_j,\ldots) = f(\ldots,v_i,\ldots,v_j,\ldots)+\lambda\, \underbrace{f(\ldots,v_j,\ldots,v_j,\ldots)}_{=0\ \text{(alternada)}}.\]
(c) Se os vetores são LD, algum deles é combinação dos outros, digamos \(v_i = \sum_{j\neq i}c_jv_j\). Abrindo a \(i\)-ésima entrada pela \(n\)-linearidade, \[f(v_1,\ldots,v_n) = \sum_{j\neq i}c_j\,f(\ldots,\underbrace{v_j}_{\text{posição }i}, \ldots,\underbrace{v_j}_{\text{posição }j},\ldots) = 0,\] porque cada parcela tem duas entradas iguais.