Propriedades das formas alternadas
Seja \(\omega\in\Alt^k(V)\).
Trocar duas entradas de lugar muda o sinal de \(\omega\).
Se \(u_1,\ldots,u_k\) são LD, então \(\omega(u_1,\ldots,u_k) = 0\).
Se \(k>\dim V\), então \(\Alt^k(V) = \{0\}\).
A forma \(\omega = \det\) em \(\R^2\) como área orientada. O valor é a área do paralelogramo, com sinal dado pelo sentido de giro de \(u\) para \(v\). Trocar a ordem inverte o sentido (e o sinal); vetores LD geram um paralelogramo achatado, de área nula.
Demonstração
(a) É a conta da Proposição 7.4, feita nas duas entradas trocadas com as outras fixas. (b) Se, digamos, \(u_1 = \sum_{i\geq2}a_iu_i\), a linearidade na primeira entrada dá uma soma de termos \(a_i\,\omega(u_i,u_2,\ldots,u_k)\), cada um com uma entrada repetida. (c) Mais de \(n\) vetores são sempre LD (Corolário 2.81).