Base e dimensão de \(\Alt^k(V)\)
Para \(I = (i_1<\cdots<i_k)\) e uma base \((v_1,\ldots,v_n)\) de \(V\), escrevemos \(v_I^* = v_{i_1}^*\wedge\cdots\wedge v_{i_k}^*\) e \(v_I = (v_{i_1},\ldots,v_{i_k})\).
Seja \(B = (v_1,\ldots,v_n)\) base de \(V\). Toda \(\omega\in\Alt^k(V)\) se escreve de modo único como \[\omega = \sum_{i_1<\cdots<i_k}\omega(v_{i_1},\ldots,v_{i_k})\ v_{i_1}^*\wedge\cdots\wedge v_{i_k}^*.\] Logo \(\{v_I^*\}_{I\text{ crescente}}\) é base de \(\Alt^k(V)\) e \(\dim\Alt^k(V) = \binom nk\).
As dimensões dos \(\Alt^k(\R^4)\): uma linha do triângulo de Pascal. Cada elemento da base corresponde a uma escolha de \(k\) índices crescentes. Em grau máximo há uma só escolha, e o espaço é uma reta gerada pelo determinante.
Demonstração
Um cálculo: para \(I,J\) crescentes, \(v_I^*(v_J) = \det\big(v_{i_a}^*(v_{j_b})\big)\). Se \(I = J\), a matriz é a identidade. Se \(I\neq J\), algum \(i_a\) não está em \(J\), e a linha \(a\) é nula. Logo \(v_I^*(v_J) = \delta_{IJ}\).
Gera: seja \(\eta = \sum_I\omega(v_I)v_I^*\). Pelo cálculo, \(\eta(v_J) = \omega(v_J)\) para toda \(J\) crescente. Uma \(k\)-upla qualquer de vetores da base ou tem repetição (e as duas formas dão zero), ou se reordena numa crescente trocando entradas (e as duas formas mudam de sinal do mesmo modo). Logo \(\eta\) e \(\omega\) coincidem em todas as \(k\)-uplas de vetores da base, e por \(k\)-linearidade coincidem em tudo.
LI: se \(\sum_Ic_Iv_I^* = 0\), avaliando em \(v_J\) vem \(c_J = 0\).