O produto exterior é alternado e detecta dependência linear
\(\xi_1\wedge\cdots\wedge\xi_k\in\Alt^k(V)\). Ela é \(k\)-linear e alternada também como função dos \(\xi_i\), e é nula se e somente se \(\xi_1,\ldots,\xi_k\) são LD.
Demonstração
Mudar \(u_j\) muda só a coluna \(j\) da matriz \((\xi_i(u_j))\), e linearmente; logo a forma é \(k\)-linear pelo determinante ser linear em cada coluna. Se \(u_j = u_l\), duas colunas são iguais e o determinante é nulo. O mesmo argumento, com as linhas, vale para os \(\xi_i\). Se os \(\xi_i\) são LD, as linhas da matriz são LD para todos os \(u\), e o determinante é nulo. Se são LI, complete-os a uma base de \(V^*\); ela é a base dual de uma base \((u_1,\ldots,u_n)\) de \(V\) (pelo Teorema 5.23, a base de \(V\) é a imagem por \(\mathrm{ev}^{-1}\) da base dual da base de \(V^*\)). Então \(\xi_i(u_j) = \delta_{ij}\) e \((\xi_1\wedge\cdots\wedge\xi_k)(u_1,\ldots,u_k) = \det I = 1\).