\(V\) e \(V^{**}\) são isomorfos sem escolha
\(\mathrm{ev}\) é um isomorfismo, e sua definição não usa escolha nenhuma. Além disso, para toda base \(B\) de \(V\), a base dual de \(B^*\) é \(\mathrm{ev}(B)\).
Os isomorfismos \(V\to V^*\) vêm em família, um para cada base, e bases diferentes dão isomorfismos diferentes. O isomorfismo \(V\to V^{**}\) é um só, e é definido sem mencionar base. É isso que a palavra canônico quer dizer.
Este é o sentido correto da palavra “canônico”. Na Nota 2.68 (“só \(\R^n\) tem base canônica”), canônico queria dizer que a escolha já vinha feita; aqui, que não há escolha a fazer. Identificamos \(V\) com \(V^{**}\) via \(\mathrm{ev}\) e escrevemos \(v(\varphi) = \varphi(v)\): os elementos de \(V^{**}\) são os vetores de \(V\), agindo por avaliação.
Demonstração
\(\mathrm{ev}(v)\) é linear em \(\varphi\) porque as operações de \(V^*\) são ponto a ponto: \(\mathrm{ev}(v)(\varphi+\lambda\psi) = \varphi(v)+\lambda\psi(v)\). E \(\mathrm{ev}\) é linear em \(v\) porque cada \(\varphi\) é linear. Se \(\mathrm{ev}(v) = 0\), então \(\varphi(v) = 0\) para todo \(\varphi\), e \(v = 0\) pelo Lema 5.22. Logo \(\mathrm{ev}\) é injetora; como \(\dim V^{**} = \dim V^* = \dim V\), é isomorfismo (Corolário 2.93).
Para a última afirmação: \(\mathrm{ev}(v_i)(v_j^*) = v_j^*(v_i) = \delta_{ij}\), que é a relação que define a base dual de \(B^*\).