Corolário 2.93

Em dimensões iguais, injetora equivale a sobrejetora

RequerDefinição 2.75Dimensão Definição 1.36Transformação linear

A demonstração exigeTeorema 2.92Teorema do núcleo e da imagem Proposição 1.60\(T\) é injetora se e somente se \(\Nuc(T) = \{0\}\)

Sejam \(V\) e \(W\) de dimensão finita com \(\dim V = \dim W\), e \(T:V\to W\) linear. São equivalentes: (a) \(T\) é injetora; (b) \(T\) é sobrejetora; (c) \(T\) é bijetora.

A hipótese \(\dim V = \dim W<\infty\) é essencial. O contra-exemplo é o Exemplo 1.65: injetor e não sobrejetor. Em dimensão finita isso é impossível — e é o que torna a álgebra linear em dimensão finita tão mais simples.

Demonstração

Pelo teorema, \(\dim\Ima(T) = \dim V-\dim \Nuc(T)\). Então \[T\ \text{injetora}\iff \Nuc(T)=\{0\}\iff\dim\Ima(T) = \dim V = \dim W\] \[\iff \Ima(T) = W\iff T\ \text{sobrejetora},\] onde a penúltima equivalência é o Corolário 2.82 aplicado ao subespaço \(\Ima(T)\subset W\). A equivalência com (c) é imediata.

Usado emExemplo 2.98A derivada: núcleo e imagem contados Nota 3.43Quatro esqueletos de demonstração Nota 3.40O teorema do núcleo e da imagem em quatro roupas

Usado em demonstrações deProposição 8.9\(\lambda\) é autovalor se e somente se \(\det(T-\lambda I) = 0\)Teorema 4.13\(\det A^t = \det A\)Teorema 5.23\(V\) e \(V^{**}\) são isomorfos sem escolha Teorema 6.34Teorema de Riesz: \(V\iso V^*\) pelo produto interno

Veja tambémExemplo 1.65Deslocamentos nas sequências Exemplo 1.50Derivada e integral: \(D\circ J = \mathrm{Id}\), mas \(J\circ D\neq\mathrm{Id}\)

cor-equiv

Vizinhança no grafo