\(\lambda\) é autovalor se e somente se \(\det(T-\lambda I) = 0\)
Seja \(\dim V = n\). Então \(\lambda\) é autovalor de \(T\) se e somente se \(\det(T-\lambda I) = 0\).
Demonstração
\(\lambda\) é autovalor \(\iff T-\lambda I\) não é injetor \(\iff T-\lambda I\) não é invertível (Corolário 2.93) \(\iff\det(T-\lambda I) = 0\) (Proposição 4.24).
Em movimento: Eigenvectors and eigenvalues — 3Blue1Brown (vídeo e texto, em inglês).
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\cardid{prop-det}
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\cardtitulo{$\lambda$ é autovalor se e somente se $\det(T-\lambda I) = 0$}
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\cardrequer{def-auto, def-detop}
\cardrequerdem{prop-inj, cor-equiv, prop-isodet}
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\begin{cartao}
Seja $\dim V = n$. Então $\lambda$ é autovalor de $T$
se e somente se $\det(T-\lambda I) = 0$.
\begin{demonstracao}
$\lambda$ é autovalor $\iff T-\lambda I$ não é injetor $\iff T-\lambda I$ não é invertível
(\vejacard{cor-equiv}) $\iff\det(T-\lambda I) = 0$ (\vejacard{prop-isodet}).
\end{demonstracao}
\end{cartao}