Teorema espectral
Seja \(V\) de dimensão finita com produto interno e \(T:V\to V\) auto-adjunto. Existe uma base ortonormal de \(V\) formada por autovetores de \(T\). Em matrizes: toda matriz real simétrica se escreve \[A = QDQ^t,\qquad Q\ \text{ortogonal},\quad D\ \text{diagonal}.\] Reciprocamente, se \(T\) tem uma base ortonormal de autovetores, \(T\) é auto-adjunto.
Compare com a triangularização (Teorema 8.54): lá passava-se ao quociente \(V/[v_1]\) e a matriz ficava triangular; aqui passa-se ao complemento ortogonal, que é invariante, e o bloco acima da diagonal também se anula. O teorema é “triangularização \(+\) simetria \(=\) diagonalização”.
Demonstração
Indução em \(n = \dim V\); para \(n = 1\), qualquer vetor unitário serve. Numa base ortonormal, \([T]\) é simétrica, e pelo Lema 9.1 \(p_T\) tem uma raiz real \(\lambda_1\), que é autovalor. Seja \(u_1\) um autovetor unitário. A reta \(S = [u_1]\) é invariante, logo \(S^\perp\) é invariante (Lema 9.3), de dimensão \(n-1\) (Teorema 6.22). A restrição \(T|_{S^\perp}\) é auto-adjunta (com o produto interno restrito), e pela hipótese de indução \(S^\perp\) tem uma base ortonormal \((u_2,\ldots,u_n)\) de autovetores. Então \((u_1,\ldots,u_n)\) é ortonormal (os \(u_j\), \(j\geq2\), estão em \(S^\perp\)) e formada por autovetores.
Em matrizes: se \(Q\) tem por colunas essa base, \(Q\) é ortogonal, e \(Q^{-1}AQ = D\) (Teorema 3.14), com \(Q^{-1} = Q^t\). Recíproca: \((QDQ^t)^t = QD^tQ^t = QDQ^t\).
A demonstração do teorema espectral em \(\R^3\). Achado um autovetor, o plano perpendicular a ele é invariante, e \(T\) restrito a ele ainda é auto-adjunto; o problema cai uma dimensão. Os autovetores achados em cada passo são automaticamente ortogonais aos anteriores.