\(V = S\oplus S^\perp\)
Seja \(V\) de dimensão finita com produto interno e \(S\) um subespaço. Então \(S^\perp\) é subespaço, \[V = S\oplus S^\perp,\qquad \dim S^\perp = \dim V-\dim S,\qquad (S^\perp)^\perp = S.\]
Uma reta \(S\) e o plano \(S^\perp\) em \(\R^3\). Todo vetor se decompõe de modo único em uma parte em \(S\) e uma parte perpendicular a \(S\). Dentre os muitos complementares de \(S\) (Corolário 2.83), o produto interno escolhe este.
Demonstração
\(S^\perp\) é subespaço pela linearidade na primeira variável. Interseção: se \(v\in S\cap S^\perp\), então \(\langle v,v\rangle = 0\) e \(v = 0\). Soma: seja \((u_1,\ldots,u_k)\) base ortonormal de \(S\), completada a uma base ortonormal \((u_1,\ldots,u_n)\) de \(V\) (Corolário 6.18). Os vetores \(u_{k+1},\ldots,u_n\) são ortogonais a \(u_1,\ldots,u_k\), logo a \(S\): estão em \(S^\perp\). Então \(V = [u_1,\ldots,u_n] \subset S+S^\perp\). Isso dá \(V = S\oplus S^\perp\) e a fórmula da dimensão (Corolário 2.86). Duplo perp: \(S\subset(S^\perp)^\perp\) pela definição, e as dimensões são iguais: \(n-(n-k) = k\).