O complexo da contração em \(\R^3\) é exato
A contração por \(v\) forma um complexo (Proposição 7.22). Em \(\R^3\), com as identificações do Exemplo 7.14, ele é \[0\to\R\xrightarrow{a\,\mapsto\,a v}\R^3\xrightarrow{w\,\mapsto\,w\times v}\R^3 \xrightarrow{w\,\mapsto\,\langle v,w\rangle}\R\to0.\]
Se \(v\neq0\), esse complexo é exato. Isto é: \(w\times v = 0\iff w\in[v]\); e \(\langle v,w\rangle = 0\iff w = u\times v\) para algum \(u\).
A característica de Euler (Teorema 7.32) confere: \(1-3+3-1 = 0\). É o caso \(n = 3\) de \(\sum_k(-1)^k\binom nk = 0\).
O complexo da contração em \(\R^3\). O núcleo de \(w\mapsto w\times v\) é a reta \([v]\), imagem da primeira seta; a imagem dela é o plano \(v^\perp\), núcleo da última. A exatidão são dois fatos conhecidos de geometria.
Demonstração
Complexo: \((av)\times v = 0\) e \(\langle v,w\times v\rangle = \det(v\ w\ v) = 0\). Exatidão nas pontas: \(a\mapsto av\) é injetora e \(w\mapsto\langle v,w\rangle\) é sobrejetora, porque \(v\neq0\). No meio: se \(w\notin[v]\), então \(w\times v\neq0\), porque \(\|w\times v\|\) é a área do paralelogramo de \(w\) e \(v\), não nula quando eles são LI. Logo \(N(\cdot\times v) = [v]\), que é a imagem da primeira seta. Pelo Teorema 2.92, a imagem de \(w\mapsto w\times v\) tem dimensão \(2\); ela está contida em \(v^\perp\) (por ser um complexo), que tem dimensão \(2\) e é o núcleo da última seta. Logo são iguais.