Início · Capítulo 7 · Formas multilineares e sequências exatas
Uma sequência de transformações lineares \[\cdots\to V_{i-1}\xrightarrow{f_{i-1}}V_i\xrightarrow{f_i}V_{i+1}\to\cdots\] é um complexo se \(f_i\circ f_{i-1} = 0\) para todo \(i\) (isto é, \(\Ima(f_{i-1})\subset N(f_i)\)), e é exata em \(V_i\) se \(\Ima(f_{i-1}) = N(f_i)\). Uma sequência exata curta é uma sequência exata \[0\to U\xrightarrow{f}V\xrightarrow{g}W\to0.\]
\(0\to U\xrightarrow{f}V\xrightarrow{g}W\to0\) é exata se e somente se \(f\) é injetora, \(g\) é sobrejetora e \(\Ima(f) = N(g)\). Nesse caso, \[\dim V = \dim U+\dim W\qquad\text{e}\qquad W\iso V/f(U).\]
Uma sequência exata curta é a régua do Teorema 2.92 com nomes novos: \(U\) entra em \(V\) como o núcleo de \(g\), e \(W\) é o que sobra. A escolha de um complementar de \(f(U)\) (ou de um produto interno) dá \(V\iso U\times W\); sem escolha, só se tem \(W\iso V/f(U)\).
Uma \(\sigma:W\to V\) com \(g\circ\sigma = \mathrm{Id}\) sempre existe (tome uma base de \(W\) e escolha pré-imagens), e dá \(V\iso U\times W\). Isso é especial de espaços vetoriais: para grupos, \(0\to\mathbb{Z}\xrightarrow{2}\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/2\to0\) é exata e não cinde.
Exatidão em \(U\): o núcleo de \(f\) é a imagem de \(0\to U\), que é \(\{0\}\). Em \(W\): a imagem de \(g\) é o núcleo de \(W\to0\), que é \(W\). Em \(V\): \(\Ima(f) = N(g)\). Então \(\dim V = \dim N(g)+\dim\Ima(g) = \dim f(U)+\dim W = \dim U+\dim W\); e o teorema do isomorfismo (Teorema 5.48) dá \(V/N(g)\iso W\).
É uma sequência exata curta: \(0\to S\hookrightarrow V\xrightarrow{\pi}V/S\to0\), para todo subespaço \(S\).
É uma sequência exata curta: \(0\to \Nuc(T)\hookrightarrow V\xrightarrow{T}\Ima(T)\to0\), para toda \(T:V\to W\).
É uma sequência exata curta: \(0\to U\xrightarrow{u\mapsto(u,0)}U\times W\xrightarrow{(u,w)\mapsto w}W\to0\), com o produto cartesiano (Definição 2.90).
É uma sequência exata curta: \(0\to\mathcal{A}\hookrightarrow\Mat{n}{n}\xrightarrow{A\mapsto\frac12(A+A^t)}\Simet\to0\) (Exemplo 2.35).
Seis enunciados que são o mesmo teorema (Teorema 2.92). À esquerda, o teorema lido no dual (Proposição 5.25, Teorema 5.33); à direita, com produto interno (Teorema 6.22, Proposição 6.37); em cima, sem escolha nenhuma, pelo quociente (Teorema 5.48); embaixo, na linguagem das sequências exatas (Proposição 7.24).
Verdadeiro ou falso? Se \(0\to U\to V\to W\to0\) é exata, então \(V\iso U\times W\).
Verdadeira. Pela Proposição 7.24, \(\dim V = \dim U+\dim W = \dim(U\times W)\) (Proposição 2.91); espaços de mesma dimensão finita são isomorfos.
Num complexo, a cohomologia em \(V_i\) é \(H^i = N(f_i)/\Ima(f_{i-1})\). O complexo é exato em \(V_i\) se e somente se \(H^i = \{0\}\).
Seja \(0\to V_0\xrightarrow{f_0}V_1\xrightarrow{f_1}\cdots\xrightarrow{f_{n-1}}V_n\to0\) um complexo de espaços de dimensão finita. Então \[\sum_{i=0}^n(-1)^i\dim V_i = \sum_{i=0}^n(-1)^i\dim H^i.\] Em particular, se o complexo é exato, \(\sum_i(-1)^i\dim V_i = 0\).
Cada \(V_i\) se parte em três pedaços de dimensões \(r_{i-1}\), \(\dim H^i\) e \(r_i\). O pedaço azul de \(V_i\) tem a mesma dimensão que o verde de \(V_{i+1}\); na soma alternada eles entram com sinais opostos e se cancelam, e só sobram os cinzas. Num complexo exato não há cinza.
O nome vem da fórmula de Euler para poliedros, \(V-A+F = 2\).
Ponha \(r_i = \dim\Ima(f_i)\), com \(r_{-1} = r_n = 0\). Pelo Teorema 2.92, \(\dim V_i = \dim N(f_i)+r_i\); e pela Proposição 5.42, \(\dim N(f_i) = r_{i-1}+\dim H^i\). Logo \[\dim V_i = r_{i-1}+\dim H^i+r_i.\] Na soma alternada, cada \(r_i\) aparece duas vezes, com sinais \((-1)^i\) e \((-1)^{i+1}\), e se cancela.
Verdadeiro ou falso? Se \(0\to V_0\to\cdots\to V_n\to0\) é um complexo com \(\sum_i(-1)^i\dim V_i = 0\), então ele é exato.
Falsa. O complexo \(0\to\R\xrightarrow{0}\R\to0\) tem \(1-1 = 0\) e não é exato: a seta do meio não é injetora (\(H^0 = \R\)) nem sobrejetora (\(H^1 = \R\)). O Teorema 7.32 só diz que a soma alternada dos \(\dim H^i\) é zero, e \(1-1 = 0\).
A contração por \(v\) forma um complexo (Proposição 7.22). Em \(\R^3\), com as identificações do Exemplo 7.14, ele é \[0\to\R\xrightarrow{a\,\mapsto\,a v}\R^3\xrightarrow{w\,\mapsto\,w\times v}\R^3 \xrightarrow{w\,\mapsto\,\langle v,w\rangle}\R\to0.\]
Se \(v\neq0\), esse complexo é exato. Isto é: \(w\times v = 0\iff w\in[v]\); e \(\langle v,w\rangle = 0\iff w = u\times v\) para algum \(u\).
A característica de Euler (Teorema 7.32) confere: \(1-3+3-1 = 0\). É o caso \(n = 3\) de \(\sum_k(-1)^k\binom nk = 0\).
O complexo da contração em \(\R^3\). O núcleo de \(w\mapsto w\times v\) é a reta \([v]\), imagem da primeira seta; a imagem dela é o plano \(v^\perp\), núcleo da última. A exatidão são dois fatos conhecidos de geometria.
Complexo: \((av)\times v = 0\) e \(\langle v,w\times v\rangle = \det(v\ w\ v) = 0\). Exatidão nas pontas: \(a\mapsto av\) é injetora e \(w\mapsto\langle v,w\rangle\) é sobrejetora, porque \(v\neq0\). No meio: se \(w\notin[v]\), então \(w\times v\neq0\), porque \(\|w\times v\|\) é a área do paralelogramo de \(w\) e \(v\), não nula quando eles são LI. Logo \(N(\cdot\times v) = [v]\), que é a imagem da primeira seta. Pelo Teorema 2.92, a imagem de \(w\mapsto w\times v\) tem dimensão \(2\); ela está contida em \(v^\perp\) (por ser um complexo), que tem dimensão \(2\) e é o núcleo da última seta. Logo são iguais.