Dimensão do produto; soma direta interna e externa
Se \(\dim V = n\) e \(\dim W = m\), então \(\dim(V\times W) = n+m\). Além disso, se \(V = S_1\oplus S_2\), a aplicação \[\Phi: S_1\times S_2\longrightarrow V,\qquad \Phi(s_1,s_2) = s_1+s_2,\] é um isomorfismo.
As duas somas diretas. À esquerda, a externa: dois espaços quaisquer, postos lado a lado. À direita, a interna: dois subespaços de um mesmo \(V\), com interseção nula; a seta é \(\Phi(s_1,s_2) = s_1+s_2\). A proposição diz que, quando a interna existe, as duas são a mesma coisa a menos de isomorfismo — e é por isso que se usa o mesmo símbolo \(\oplus\) para as duas.
Demonstração
Se \((v_1,\ldots,v_n)\) é base de \(V\) e \((w_1,\ldots,w_m)\) é base de \(W\), então \[\big((v_1,0),\ldots,(v_n,0),\ (0,w_1),\ldots,(0,w_m)\big)\] gera \(V\times W\) (pois \((v,w) = (v,0)+(0,w)\)) e é LI (uma combinação nula obriga cada coordenada a se anular). Logo a dimensão é \(n+m\).
Quanto a \(\Phi\): ela é linear, e é sobrejetora porque \(V = S_1+S_2\). É injetora porque \(s_1+s_2 = 0\) com \(s_i\in S_i\) obriga \(s_1 = -s_2\in S_1\cap S_2 = \{0\}\).