Propriedades básicas das transformações lineares
Seja \(T:V\to W\) linear. Então:
\(T(0) = 0\) e \(T(-v) = -T(v)\);
\(T(a_1v_1+\cdots+a_kv_k) = a_1T(v_1)+\cdots+a_kT(v_k)\) para quaisquer \(v_i\in V\) e \(a_i\in\R\);
reciprocamente, uma função \(T:V\to W\) com \(T(u+\lambda v) = T(u)+\lambda T(v)\) para todos \(u,v,\lambda\) é linear.
O item (a) dá um teste rápido de não-linearidade: se \(T(0)\neq0\), \(T\) não é linear. O item (c) é o modo econômico de verificar linearidade: uma conta só, em vez de duas.
Demonstração
(a) \(T(0) = T(0\cdot0) = 0\cdot T(0) = 0\), pela Proposição 1.7, aplicada duas vezes (em \(V\) e em \(W\)). E \(T(-v) = T((-1)v) = (-1)T(v) = -T(v)\).
(b) Indução em \(k\). Para \(k=1\) é a segunda condição da definição. Supondo válido para \(k-1\), \[T\Big(\sum_{i=1}^{k}a_iv_i\Big) = T\Big(\sum_{i=1}^{k-1}a_iv_i\Big)+T(a_kv_k) = \sum_{i=1}^{k-1}a_iT(v_i)+a_kT(v_k).\]
(c) Com \(\lambda = 1\) obtemos a aditividade. Com \(u = 0\) obtemos \(T(\lambda v) = T(0)+\lambda T(v)\); e \(T(0) = 0\) porque, com \(u = v = 0\) e \(\lambda = 1\), \(T(0) = T(0)+T(0)\), e cancela-se.