Produto por zero e por \(-1\)
Para todos \(v\in V\) e \(\lambda\in\R\):
\(0\,v = 0\) (à esquerda o número zero, à direita o vetor nulo);
\(\lambda\,0 = 0\);
\((-1)\,v = -v\).
Demonstração
(a) Como \(0 = 0+0\) em \(\R\), o axioma (D2) dá \[0v = (0+0)v = 0v+0v.\] Por (A3), também \(0v = 0+0v\); logo \(0+0v = 0v+0v\), e o Lema 1.5 dá \(0 = 0v\).
(b) Igual, usando (D1) no lugar de (D2): \(\lambda 0 = \lambda(0+0) = \lambda 0+\lambda 0\), e cancela-se.
(c) Basta ver que \((-1)v\) é um simétrico de \(v\), e usar a unicidade: \[v+(-1)v \overset{\text{(M2)}}{=} 1v+(-1)v \overset{\text{(D2)}}{=} (1+(-1))v = 0v = 0,\] a última igualdade pelo item (a).
prop-zeros