Critério de subespaço
Se \(S\) é subespaço de \(V\), então \(S\), com a soma e o produto por escalar de \(V\) restritos a \(S\), é um espaço vetorial. Além disso, as condições (ii) e (iii) juntas equivalem a: \(u+\lambda v\in S\) para todos \(u,v\in S\), \(\lambda\in\R\).
Demonstração
Por (ii) e (iii), as operações de \(V\) restritas a \(S\) têm valores em \(S\). Os axiomas (A1), (A2), (M1), (M2), (D1), (D2) são igualdades que valem para todos os vetores de \(V\), logo em particular para os de \(S\). (A3): o vetor nulo de \(V\) está em \(S\) por (i). (A4): se \(v\in S\), então \(-v = (-1)v\in S\) por (iii) e pelo item (c) da Proposição 1.7.
Para a segunda afirmação: se (ii) e (iii) valem, \(\lambda v\in S\) e então \(u+\lambda v\in S\). Reciprocamente, \(\lambda = 1\) dá (ii) e \(u = 0\) dá (iii) (usando (i)).