Teorema do isomorfismo: \(V/\Nuc(T)\iso\Ima(T)\)
Seja \(T:V\to W\) linear. Então \[\bar T:\ V/\Nuc(T)\longrightarrow\Ima(T),\qquad \bar T(v+\Nuc(T)) = T(v),\] é um isomorfismo.
O teorema do isomorfismo. \(\pi\) comprime cada fibra de \(T\) (cada paralela ao núcleo) num ponto; \(\bar T\) leva esses pontos, um a um, sobre a imagem. As cores acompanham as fibras. Contar dimensões neste desenho é o teorema do núcleo e da imagem (Corolário 5.49).
A figura da Proposição 1.59 é a metade esquerda desta. Lá a moral era “\(T\) é constante em cada fibra”. Aqui ela vira “\(T\) é uma função das fibras, e essa função é injetora”. E há uma diferença com o Teorema 2.92: lá a imagem era isomorfa a um complementar do núcleo, escolhido; aqui ela é isomorfa ao quociente, sem escolha.
Demonstração
Aplique o Teorema 5.46 com \(S = \Nuc(T)\): \(\bar T\) é linear, injetora (porque \(S = \Nuc(T)\)) e sua imagem é \(\Ima(T)\).
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\cardtitulo{Teorema do isomorfismo: $V/\Nuc(T)\iso\Ima(T)$}
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\cardrequer{prop-oper, def-iso}
\cardrequerdem{thm-univ}
\cardveja{prop-fibras, thm-nucimg, cor-nucimg}
\begin{cartao}
\emph{Seja
$T:V\to W$ linear. Então}
\[\bar T:\ V/\Nuc(T)\longrightarrow\Ima(T),\qquad \bar T(v+\Nuc(T)) = T(v),\]
\emph{é um isomorfismo.}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.95,every node/.style={scale=0.95}]
\begin{scope}
\clip (-2.1,-1.6) rectangle (2.3,2.2);
\draw[Fverde,line width=1.6pt] (-3,3)--(3,-3);
\draw[Fazul,line width=1pt] (-2,4)--(4,-2);
\draw[Flaranja,line width=1pt] (-1,4)--(5,-2);
\draw[Frosa,line width=1pt] (-4,3)--(2,-3);
\end{scope}
\node[cx] at (0.1,-2.1) {$V$};
\node[cxs,Fverde,anchor=south west,fill=white,inner sep=1pt] at (-1.75,1.55) {$\Nuc(T)$};
\begin{scope}[shift={(4.6,0)}]
\draw[line width=0.8pt] (0,-1.4)--(0,2.0);
\fill[Frosa] (0,-0.6) circle (2.6pt);
\fill[Fverde] (0,0) circle (2.6pt);
\fill[Fazul] (0,1.2) circle (2.6pt);
\fill[Flaranja] (0,1.8) circle (2.6pt);
\node[cx] at (0,-2.1) {$V/\Nuc(T)$};
\end{scope}
\begin{scope}[shift={(8.6,0)}]
\draw[line width=0.8pt] (0,-1.4)--(0,2.0);
\fill[Frosa] (0,-0.6) circle (2.6pt);
\fill[Fverde] (0,0) circle (2.6pt);
\fill[Fazul] (0,1.2) circle (2.6pt);
\fill[Flaranja] (0,1.8) circle (2.6pt);
\node[cxs,anchor=west] at (0.1,0) {$0$};
\node[cx] at (0,-2.1) {$\Ima(T)$};
\end{scope}
\draw[fseta,Fcinza] (2.5,0.3)--(4.3,0.3) node[midway,above,cxs] {$\pi$};
\draw[fseta,Fcinza] (4.9,0.3)--(8.3,0.3) node[midway,above,cxs] {$\bar T$: \emph{bijeção}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
{\footnotesize\itshape O teorema do isomorfismo. $\pi$ comprime cada fibra de $T$ (cada
paralela ao núcleo) num ponto; $\bar T$ leva esses pontos, um a um, sobre a imagem. As cores
acompanham as fibras. Contar dimensões neste desenho \emph{é} o teorema do núcleo e da
imagem (\vejacard{cor-nucimg}).\par}
\noindent A figura da \vejacard{prop-fibras} é a metade esquerda desta. Lá a moral era
``$T$ é constante em cada fibra''. Aqui ela vira ``$T$ é uma função das fibras, e essa função
é injetora''. E há uma diferença com o \vejacard{thm-nucimg}: lá a imagem era isomorfa a
\emph{um} complementar do núcleo, escolhido; aqui ela é isomorfa ao quociente, sem escolha.
\begin{demonstracao}
Aplique o \vejacard{thm-univ} com $S = \Nuc(T)$: $\bar T$ é linear, injetora (porque
$S = \Nuc(T)$) e sua imagem é $\Ima(T)$.
\end{demonstracao}
\end{cartao}