Sequências exatas curtas
\(0\to U\xrightarrow{f}V\xrightarrow{g}W\to0\) é exata se e somente se \(f\) é injetora, \(g\) é sobrejetora e \(\Ima(f) = N(g)\). Nesse caso, \[\dim V = \dim U+\dim W\qquad\text{e}\qquad W\iso V/f(U).\]
Uma sequência exata curta é a régua do Teorema 2.92 com nomes novos: \(U\) entra em \(V\) como o núcleo de \(g\), e \(W\) é o que sobra. A escolha de um complementar de \(f(U)\) (ou de um produto interno) dá \(V\iso U\times W\); sem escolha, só se tem \(W\iso V/f(U)\).
Uma \(\sigma:W\to V\) com \(g\circ\sigma = \mathrm{Id}\) sempre existe (tome uma base de \(W\) e escolha pré-imagens), e dá \(V\iso U\times W\). Isso é especial de espaços vetoriais: para grupos, \(0\to\mathbb{Z}\xrightarrow{2}\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/2\to0\) é exata e não cinde.
Demonstração
Exatidão em \(U\): o núcleo de \(f\) é a imagem de \(0\to U\), que é \(\{0\}\). Em \(W\): a imagem de \(g\) é o núcleo de \(W\to0\), que é \(W\). Em \(V\): \(\Ima(f) = N(g)\). Então \(\dim V = \dim N(g)+\dim\Ima(g) = \dim f(U)+\dim W = \dim U+\dim W\); e o teorema do isomorfismo (Teorema 5.48) dá \(V/N(g)\iso W\).