\(V/S\) é um espaço vetorial; a projeção \(\pi\)
As operações \[(u+S)+(v+S) = (u+v)+S,\qquad \lambda(v+S) = \lambda v+S\] estão bem definidas e fazem de \(V/S\) um espaço vetorial, com vetor nulo \(0+S = S\). A projeção \(\pi:V\to V/S\), \(\pi(v) = v+S\), é linear, sobrejetora, e \(N(\pi) = S\).
\(\R^2\) módulo uma reta \(S\) (verde). As classes são as retas paralelas a \(S\); \(u\) e \(u'\) estão na mesma classe (azul), \(v\) e \(v'\) em outra (laranja). Um elemento de \(V/S\) é uma reta inteira, e não um ponto. A classe nula é a própria \(S\).
Na figura: somando \(u+v\) e \(u'+v'\), os dois pontos caem na mesma paralela. Isso é a boa definição. E que dimensão tem o conjunto das paralelas? Uma paralela fica determinada pelo ponto em que corta uma reta transversal fixa, logo \(V/S\) “parece” uma reta. A Proposição 5.42 confirma.
Demonstração
Boa definição: as fórmulas usam representantes, e é preciso ver que o resultado não depende deles. Se \(u+S = u'+S\) e \(v+S = v'+S\), então \[(u+v)-(u'+v') = (u-u')+(v-v')\in S,\qquad \lambda u-\lambda u' = \lambda(u-u')\in S,\] e o Lema 5.40 dá \((u+v)+S = (u'+v')+S\) e \(\lambda u+S = \lambda u'+S\).
Axiomas: por construção, \(\pi(u+v) = \pi(u)+\pi(v)\) e \(\pi(\lambda v) = \lambda\pi(v)\). Cada axioma em \(V/S\) é a imagem por \(\pi\) do mesmo axioma em \(V\); por exemplo, \(\lambda(\bar u+\bar v) = \pi(\lambda(u+v)) = \pi(\lambda u+\lambda v) = \lambda\bar u+\lambda\bar v\). O vetor nulo é \(\pi(0) = S\), e \(-\bar v = \overline{-v}\).
\(\pi\): é linear pelas duas igualdades acima; é sobrejetora por definição de \(V/S\); e \(\pi(v) = 0\iff v+S = S\iff v\in S\).