Proposição 5.42

Dimensão do quociente: \(\dim V/S = \dim V-\dim S\)

RequerProposição 5.41\(V/S\) é um espaço vetorial; a projeção \(\pi\)Definição 2.75Dimensão

Seja \((v_1,\ldots,v_k)\) base de \(S\), completada a uma base \((v_1,\ldots,v_n)\) de \(V\). Então \((\bar v_{k+1},\ldots,\bar v_n)\) é base de \(V/S\). Em particular, \[\dim V/S = \dim V-\dim S.\]

A demonstração não usa o teorema do núcleo e da imagem — e isso importa, porque o Corolário 5.49 deduz esse teorema do quociente, e não queremos círculo.

Demonstração

Gera: dado \(v = \sum_{i=1}^na_iv_i\), temos \(\bar v = \sum_ia_i\bar v_i = \sum_{i>k}a_i\bar v_i\), porque \(\bar v_i = 0\) para \(i\leq k\). LI: se \(\sum_{i>k}c_i\bar v_i = 0\), então \(\sum_{i>k}c_iv_i\in S = [v_1,\ldots,v_k]\), isto é, \(\sum_{i>k}c_iv_i = \sum_{i\leq k}d_iv_i\); como \((v_1,\ldots,v_n)\) é LI, todos os \(c_i\) são nulos.

Usado emExemplo 5.43\(\R^3\) módulo uma reta e módulo um plano Exemplo 5.44Polinômios módulo as constantes Exemplo 5.45Reduzir o representante em \(\R^4/S\)

Usado em demonstrações deCorolário 5.49O teorema do núcleo e da imagem, pelo quociente Corolário 5.54Segundo teorema do isomorfismo Exercício 5.57Subespaços de mesma dimensão têm quocientes isomorfos?Exercício 5.58Quocientes isomorfos implicam subespaços iguais?Proposição 5.56Operador induzido no quociente e matriz em blocos Teorema 7.32Característica de Euler de um complexo Teorema 8.54Triangularização

Veja tambémCorolário 5.49O teorema do núcleo e da imagem, pelo quociente

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Vizinhança no grafo