Característica de Euler de um complexo
Seja \(0\to V_0\xrightarrow{f_0}V_1\xrightarrow{f_1}\cdots\xrightarrow{f_{n-1}}V_n\to0\) um complexo de espaços de dimensão finita. Então \[\sum_{i=0}^n(-1)^i\dim V_i = \sum_{i=0}^n(-1)^i\dim H^i.\] Em particular, se o complexo é exato, \(\sum_i(-1)^i\dim V_i = 0\).
Cada \(V_i\) se parte em três pedaços de dimensões \(r_{i-1}\), \(\dim H^i\) e \(r_i\). O pedaço azul de \(V_i\) tem a mesma dimensão que o verde de \(V_{i+1}\); na soma alternada eles entram com sinais opostos e se cancelam, e só sobram os cinzas. Num complexo exato não há cinza.
O nome vem da fórmula de Euler para poliedros, \(V-A+F = 2\).
Demonstração
Ponha \(r_i = \dim\Ima(f_i)\), com \(r_{-1} = r_n = 0\). Pelo Teorema 2.92, \(\dim V_i = \dim N(f_i)+r_i\); e pela Proposição 5.42, \(\dim N(f_i) = r_{i-1}+\dim H^i\). Logo \[\dim V_i = r_{i-1}+\dim H^i+r_i.\] Na soma alternada, cada \(r_i\) aparece duas vezes, com sinais \((-1)^i\) e \((-1)^{i+1}\), e se cancela.