Todo subespaço tem complementar

Tome uma base \((u_1,\ldots,u_k)\) de \(S\) e complete-a a uma base \((u_1,\ldots,u_k,w_1,\ldots,w_r)\) de \(V\) (Teorema 2.79). Ponha \(S' = [w_1,\ldots,w_r]\). Então \(S+S' = V\), porque a base toda está em \(S\cup S'\). E \(S\cap S' = \{0\}\): se \(v\in S\cap S'\), escrevemos \(v = \sum_ia_iu_i\) e \(v = \sum_jb_jw_j\), donde \(\sum_ia_iu_i-\sum_jb_jw_j = 0\); como a base toda é LI, todos os coeficientes são nulos e \(v=0\).