Dimensão de um subespaço
Seja \(\dim V = n\) e \(S\subset V\) um subespaço. Então \(S\) tem dimensão finita, \(\dim S\leq n\), e vale \(\dim S = n\) se e somente se \(S = V\).
Demonstração
Todo conjunto LI contido em \(S\) é, em particular, LI em \(V\), logo tem no máximo \(n\) elementos pelo Corolário 2.81(a). Escolha então em \(S\) um conjunto LI \((u_1,\ldots,u_k)\) com \(k\) máximo (possível, porque \(k\leq n\)). Ele gera \(S\): se existisse \(u\in S\) fora de \([u_1,\ldots,u_k]\), o conjunto \((u_1,\ldots,u_k,u)\) seria LI — pelo mesmo argumento da demonstração do Teorema 2.79 — contrariando a maximalidade de \(k\). Logo \((u_1,\ldots,u_k)\) é base de \(S\) e \(\dim S = k\leq n\).
Se \(k = n\), então \((u_1,\ldots,u_n)\) são \(n\) vetores LI em \(V\), logo base de \(V\) pelo Corolário 2.81(b); portanto \(V = [u_1,\ldots,u_n]\subset S\), isto é, \(S=V\). A recíproca é imediata.