Critério de diagonalização
Sejam \(\lambda_1,\ldots,\lambda_k\) os autovalores distintos de \(T\), com \(\dim V = n\). São equivalentes:
\(T\) é diagonalizável;
\(V\) tem uma base formada por autovetores de \(T\);
\(V = V_{\lambda_1}\oplus\cdots\oplus V_{\lambda_k}\);
\(\dim V_{\lambda_1}+\cdots+\dim V_{\lambda_k} = n\).
Demonstração
(a)\(\iff\)(b): \([T]_B = \mathrm{diag}(c_1,\ldots,c_n)\) significa \(T(v_j) = c_jv_j\) para cada \(j\) (Nota 3.18), isto é, cada \(v_j\) é autovetor.
(b)\(\Rightarrow\)(d): cada vetor da base está em algum \(V_{\lambda_i}\), e os que estão em \(V_{\lambda_i}\) são LI; logo \(\dim V_{\lambda_i}\geq\) número deles, e somando, \(\sum_i\dim V_{\lambda_i}\geq n\). A soma dos autoespaços é direta (Corolário 8.16), logo tem dimensão \(\sum_i\dim V_{\lambda_i}\leq n\).
(d)\(\Rightarrow\)(c): a soma é direta, e sua dimensão é \(n\); um subespaço de dimensão \(n\) é \(V\) (Corolário 2.82).
(c)\(\Rightarrow\)(b): junte bases dos \(V_{\lambda_i}\); numa soma direta, a junção de bases é base (Corolário 2.86).