Operadores que comutam
Sejam \(S,T:V\to V\) com \(ST = TS\).
Cada autoespaço de \(T\) é invariante por \(S\).
Se \(S\) e \(T\) são diagonalizáveis, existe uma base de autovetores comuns.
A diagonalização simultânea. Porque \(S\) preserva cada autoespaço de \(T\), a decomposição de \(V\) segundo \(S\) refina a decomposição segundo \(T\), e o resultado é um quadriculado de pedaços em que os dois operadores são escalares.
Demonstração
(a) Se \(Tv = \lambda v\), então \(T(Sv) = S(Tv) = \lambda Sv\).
(b) Sejam \(\mu_1,\ldots,\mu_l\) os autovalores de \(S\), e \(V = \bigoplus_jV_{\mu_j}(S)\). Fixe um autovalor \(\lambda\) de \(T\) e \(v\in V_\lambda(T)\); escreva \(v = \sum_jw_j\) com \(w_j\in V_{\mu_j}(S)\). Por (a), com os papéis trocados, \(T\) preserva cada \(V_{\mu_j}(S)\); logo \[0 = (T-\lambda I)v = \sum_j(T-\lambda I)w_j,\qquad (T-\lambda I)w_j\in V_{\mu_j}(S).\] Como a soma é direta, cada \((T-\lambda I)w_j = 0\): os \(w_j\) estão em \(V_\lambda(T)\cap V_{\mu_j}(S)\). Portanto \(V_\lambda(T) = \bigoplus_j\big(V_\lambda(T)\cap V_{\mu_j}(S)\big)\). Juntando bases desses pedaços, para todos os \(\lambda\), obtém-se uma base de \(V\) formada por vetores que são autovetores de \(T\) e de \(S\) ao mesmo tempo.