Início · Capítulo 8 · Autovalores e diagonalização
\(T\) é diagonalizável se e somente se os autoespaços somam \(V\) (Teorema 8.23). Há dois obstáculos: a rotação (sem autovalores reais, Exemplo 8.6) e o cisalhamento (autovalores reais, poucos autovetores, Exemplo 8.7). Diagonalizar é o caso em que \(V\) se parte em retas invariantes. Em geral, procura-se partir \(V\) em pedaços invariantes (Definição 8.38) tão pequenos quanto possível.
Um subespaço \(S\subset V\) é invariante por \(T\) se \(T(S)\subset S\). Nesse caso \(T|_S:S\to S\) é um operador em \(S\).
São invariantes por \(T\): \(\{0\}\) e \(V\); \(\Nuc(T)\) e \(\Ima(T)\); cada autoespaço \(V_\lambda\) (se \(Tv = \lambda v\), então \(T(Tv) = \lambda Tv\)).
Uma reta \([v]\) é invariante se e somente se \(v\) é autovetor.
Se \(S_1,S_2\) são invariantes, \(S_1\cap S_2\) e \(S_1+S_2\) também são.
Para a derivada em \(\Pol{n}\), cada \(P_k(\R)\), \(k\leq n\), é invariante.
Seja \(S\) invariante, \(B_S\) base de \(S\) completada a uma base \(B\) de \(V\). Então \[[T]_B = \begin{pmatrix}[T|_S]_{B_S}&\ast\\0&[\bar T]\end{pmatrix}\qquad\text{e}\qquad p_T = p_{T|_S}\cdot p_{\bar T}.\]
Para conhecer os autovalores de \(T\) basta conhecer os de \(T|_S\) e os de \(\bar T\), que vivem em espaços menores. É o motor das demonstrações por indução na dimensão: a triangularização (Teorema 8.54) e o teorema espectral (Teorema 9.5).
A forma da matriz é a Proposição 5.56. Para o polinômio, \([T]_B-\lambda I\) é triangular por blocos com blocos diagonais \([T|_S]-\lambda I\) e \([\bar T]-\lambda I\), e o determinante de uma matriz triangular por blocos é o produto dos determinantes dos blocos (Proposição 4.28).
Em \(\R^2\), os subespaços invariantes triviais são \(\{0\}\) e \(\R^2\); os outros são retas, e uma reta é invariante se e somente se é gerada por um autovetor. Então:
Rotação de \(\theta\in(0,\pi)\): nenhum autovetor real; só os triviais.
Cisalhamento \(T(x,y) = (x+y,y)\): autovetores só no eixo \(x\); os invariantes são \(\{0\}\), o eixo \(x\) e \(\R^2\).
\(T(x,y) = (2x,3y)\): dois autoespaços de dimensão \(1\); os invariantes são \(\{0\}\), os dois eixos e \(\R^2\).
\(T = I\): toda reta é invariante.
Só em (c) e (d) \(\R^2\) é soma direta de duas retas invariantes — e são exatamente os diagonalizáveis.
As retas invariantes nos quatro casos típicos de \(\R^2\). Zero, uma, duas ou infinitas. Os dois últimos são diagonalizáveis; o primeiro falha por falta de autovalores reais, o segundo por falta de autovetores.
Um operador de \(\R^2\) não pode ter exatamente três retas invariantes: se há três, há dois autovetores LI; se os autovalores fossem distintos, um terceiro autovetor teria de estar num dos dois autoespaços; logo os autovalores são iguais e \(T = \lambda I\).
Seja \(V = S_1\oplus S_2\) e \(\pi_1,\pi_2\) as projeções (Proposição 2.33). Então \(S_1\) e \(S_2\) são invariantes por \(T\) se e somente se \(\pi_iT = T\pi_i\) para \(i = 1,2\). Nesse caso, numa base formada por uma base de \(S_1\) seguida de uma de \(S_2\), \[[T] = \begin{pmatrix}[T|_{S_1}]&0\\0&[T|_{S_2}]\end{pmatrix}.\]
Diagonalizar é o caso em que \(V\) se parte em retas invariantes. Em geral, procura-se partir \(V\) em pedaços invariantes tão pequenos quanto possível.
Se os \(S_i\) são invariantes e \(v = s_1+s_2\), então \(Tv = Ts_1+Ts_2\) com \(Ts_i\in S_i\), logo \(\pi_1Tv = Ts_1 = T\pi_1v\). Reciprocamente, se \(\pi_1T = T\pi_1\) e \(s\in S_1\), então \(Ts = T\pi_1s = \pi_1Ts\in S_1\). A forma da matriz: as colunas da primeira parte têm coordenadas só em \(S_1\), e as da segunda só em \(S_2\).
Sejam \(S,T:V\to V\) com \(ST = TS\).
Cada autoespaço de \(T\) é invariante por \(S\).
Se \(S\) e \(T\) são diagonalizáveis, existe uma base de autovetores comuns.
A diagonalização simultânea. Porque \(S\) preserva cada autoespaço de \(T\), a decomposição de \(V\) segundo \(S\) refina a decomposição segundo \(T\), e o resultado é um quadriculado de pedaços em que os dois operadores são escalares.
(a) Se \(Tv = \lambda v\), então \(T(Sv) = S(Tv) = \lambda Sv\).
(b) Sejam \(\mu_1,\ldots,\mu_l\) os autovalores de \(S\), e \(V = \bigoplus_jV_{\mu_j}(S)\). Fixe um autovalor \(\lambda\) de \(T\) e \(v\in V_\lambda(T)\); escreva \(v = \sum_jw_j\) com \(w_j\in V_{\mu_j}(S)\). Por (a), com os papéis trocados, \(T\) preserva cada \(V_{\mu_j}(S)\); logo \[0 = (T-\lambda I)v = \sum_j(T-\lambda I)w_j,\qquad (T-\lambda I)w_j\in V_{\mu_j}(S).\] Como a soma é direta, cada \((T-\lambda I)w_j = 0\): os \(w_j\) estão em \(V_\lambda(T)\cap V_{\mu_j}(S)\). Portanto \(V_\lambda(T) = \bigoplus_j\big(V_\lambda(T)\cap V_{\mu_j}(S)\big)\). Juntando bases desses pedaços, para todos os \(\lambda\), obtém-se uma base de \(V\) formada por vetores que são autovetores de \(T\) e de \(S\) ao mesmo tempo.
\(S = \mathrm{diag}(1,-1)\) e \(T = \left(\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}\right)\) são diagonalizáveis (autovetores \(e_1,e_2\) e \((1,\pm1)\)), não comutam (\(ST = -TS\neq TS\)), e não têm autovetor comum.
Comutar não basta para ter um autovetor real comum: duas rotações de \(\R^2\) comutam e nenhuma tem autovetor real.
\(A = \left(\begin{smallmatrix} a&-b\\b&a\end{smallmatrix}\right)\), \(b\neq0\): \(p_A = (a-\lambda)^2+b^2\), sem raízes reais, com raízes complexas \(a\pm ib\). Com \(r = \sqrt{a^2+b^2}\) e \(\theta\) tal que \(\cos\theta = a/r\), \(\sen\theta = b/r\), \[A = r\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sen\theta\\ \sen\theta&\cos\theta\end{pmatrix}:\] uma rotação de \(\theta\) seguida de uma dilatação por \(r\). Identificando \(\R^2\) com \(\Cx\), é a multiplicação pelo complexo \(a+ib\).
Seja \(A\in\Mat{n}{n}\) e \(\lambda = a+ib\), \(b\neq0\), uma raiz de \(p_A\). Seja \(z = u+iw\in\Cx^n\) (\(u,w\in\R^n\)) com \(Az = \lambda z\), \(z\neq0\). Então \(u\) e \(w\) são LI, o plano \(S = [u,w]\) é invariante, e na base \((w,u)\) \[[A|_S] = \begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}.\]
Um \(z\) assim existe: \(\det(A-\lambda I) = 0\) sobre \(\Cx\), e o sistema \((A-\lambda I)z = 0\) tem solução não nula em \(\Cx^n\) (a teoria de dimensão, sistemas lineares e determinantes vale sobre \(\Cx\) sem mudança). Separando partes real e imaginária em \(A(u+iw) = (a+ib)(u+iw)\), e usando que \(A\) é real, \[Au = au-bw,\qquad Aw = bu+aw.\] Logo \(S = [u,w]\) é invariante, e na base \((w,u)\) as colunas são \([Aw] = (a,b)\) e \([Au] = (-b,a)\). Resta ver que \(u,w\) são LI. Se não fossem, \(S\) seria uma reta (não é \(\{0\}\), porque \(z\neq0\)) invariante, gerada por um \(x\) com \(Ax = \mu x\), \(\mu\) real; e \(z\), sendo combinação complexa de \(u\) e \(w\), seria um múltiplo complexo de \(x\), donde \(Az = \mu z\) e \(\lambda = \mu\in\R\), contra \(b\neq0\).
Todo operador em \(\R^n\) (\(n\geq1\)) tem um subespaço invariante de dimensão \(1\) ou \(2\). Se \(n\) é ímpar, todo operador em \(\R^n\) tem um autovetor real.
\(p_T\) tem uma raiz complexa (teorema fundamental da álgebra). Se é real, há um autovetor; se não, o teorema dá um plano. Se \(n\) é ímpar, \(p_T\) tem grau ímpar e coeficientes reais, logo tem uma raiz real (valor intermediário: \(p_T(\lambda)\) tem sinais opostos para \(\lambda\to\pm\infty\)).
\(A = \left(\begin{smallmatrix}1&-2\\1&3\end{smallmatrix}\right)\): \(p_A = \lambda^2-4\lambda+5\), raízes \(2\pm i\). Para \(\lambda = 2+i\), a segunda linha de \(A-\lambda I\) dá \(z_1+(1-i)z_2 = 0\); com \(z_2 = 1\), \(z = (-1+i,\ 1) = u+iw\) com \(u = (-1,1)\), \(w = (1,0)\). Confira: \(Au = (-3,2) = 2u-w\) e \(Aw = (1,1) = u+2w\). Na base \((w,u)\), \[[A] = \begin{pmatrix}2&-1\\1&2\end{pmatrix} = \sqrt5\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sen\theta\\ \sen\theta&\cos\theta\end{pmatrix},\qquad \cos\theta = \tfrac{2}{\sqrt5}.\] \(A\) é uma rotação com dilatação — nas coordenadas \((w,u)\). Nas coordenadas usuais, as órbitas de \(A/\sqrt5\) são elipses.
A órbita de \(w\) pelas potências de \(A/\sqrt5\). Na base \((w,u)\) ela percorre um círculo; desenhada nas coordenadas usuais, o círculo vira a elipse \(\{\cos t\,w+\sen t\,u\}\). Sem a divisão por \(\sqrt5\), os pontos se afastariam em espiral.
Uma matriz sem autovalores reais “gira” mesmo quando não parece uma rotação: ela é uma rotação com dilatação numa base torta. É a versão \(2\times2\) do Teorema 8.50: cada par de raízes complexas conjugadas dá um plano onde \(T\) faz isso.