Todo operador real tem um invariante de dimensão \(1\) ou \(2\)
Todo operador em \(\R^n\) (\(n\geq1\)) tem um subespaço invariante de dimensão \(1\) ou \(2\). Se \(n\) é ímpar, todo operador em \(\R^n\) tem um autovetor real.
Demonstração
\(p_T\) tem uma raiz complexa (teorema fundamental da álgebra). Se é real, há um autovetor; se não, o teorema dá um plano. Se \(n\) é ímpar, \(p_T\) tem grau ímpar e coeficientes reais, logo tem uma raiz real (valor intermediário: \(p_T(\lambda)\) tem sinais opostos para \(\lambda\to\pm\infty\)).
cor-12