Uma raiz complexa de \(p_A\) dá um plano invariante
Seja \(A\in\Mat{n}{n}\) e \(\lambda = a+ib\), \(b\neq0\), uma raiz de \(p_A\). Seja \(z = u+iw\in\Cx^n\) (\(u,w\in\R^n\)) com \(Az = \lambda z\), \(z\neq0\). Então \(u\) e \(w\) são LI, o plano \(S = [u,w]\) é invariante, e na base \((w,u)\) \[[A|_S] = \begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}.\]
Demonstração
Um \(z\) assim existe: \(\det(A-\lambda I) = 0\) sobre \(\Cx\), e o sistema \((A-\lambda I)z = 0\) tem solução não nula em \(\Cx^n\) (a teoria de dimensão, sistemas lineares e determinantes vale sobre \(\Cx\) sem mudança). Separando partes real e imaginária em \(A(u+iw) = (a+ib)(u+iw)\), e usando que \(A\) é real, \[Au = au-bw,\qquad Aw = bu+aw.\] Logo \(S = [u,w]\) é invariante, e na base \((w,u)\) as colunas são \([Aw] = (a,b)\) e \([Au] = (-b,a)\). Resta ver que \(u,w\) são LI. Se não fossem, \(S\) seria uma reta (não é \(\{0\}\), porque \(z\neq0\)) invariante, gerada por um \(x\) com \(Ax = \mu x\), \(\mu\) real; e \(z\), sendo combinação complexa de \(u\) e \(w\), seria um múltiplo complexo de \(x\), donde \(Az = \mu z\) e \(\lambda = \mu\in\R\), contra \(b\neq0\).