As projeções de uma soma direta
Seja \(V = S_1\oplus S_2\) e, para \(v = s_1+s_2\) (a única decomposição), ponha \(\pi_1(v) = s_1\) e \(\pi_2(v) = s_2\). Então:
\(\pi_1\) e \(\pi_2\) são lineares, e \(\pi_1+\pi_2 = \mathrm{Id}\);
\(\pi_1\circ\pi_1 = \pi_1\), \(\Ima(\pi_1) = S_1\) e \(N(\pi_1) = S_2\) (e o mesmo para \(\pi_2\), trocando os papéis).
Demonstração
(a) Sejam \(v = s_1+s_2\) e \(w = t_1+t_2\). Então \[v+\lambda w = (s_1+\lambda t_1)+(s_2+\lambda t_2),\] com a primeira parcela em \(S_1\) e a segunda em \(S_2\). Pela unicidade, essa é a decomposição de \(v+\lambda w\), e portanto \(\pi_1(v+\lambda w) = s_1+\lambda t_1 = \pi_1(v)+\lambda\pi_1(w)\). E \(\pi_1(v)+\pi_2(v) = s_1+s_2 = v\).
(b) Se \(s\in S_1\), sua decomposição é \(s = s+0\), logo \(\pi_1(s) = s\). Como \(\pi_1(v)\in S_1\), isso dá \(\pi_1(\pi_1(v)) = \pi_1(v)\), e também \(\Ima(\pi_1) = S_1\). Finalmente, \(\pi_1(v) = 0\iff v = 0+s_2\iff v\in S_2\).