Completar dois vetores a uma base de \(\R^3\)

Completar \(v_1 = (1,1,0)\), \(v_2 = (0,1,1)\) a uma base de \(\R^3\). Eles são LI. Basta achar um vetor fora do plano \([v_1,v_2]\): como \([v_1,v_2] = \{(x,y,z): x-y+z = 0\}\), o vetor \(e_1 = (1,0,0)\) serve, pois \(1\neq0\). Logo \(\big((1,1,0),(0,1,1),(1,0,0)\big)\) é base de \(\R^3\), e \(S' = [(1,0,0)]\) é um complementar do plano.

Um subespaço tem muitos complementares. Qualquer reta fora do plano serve, e o Corolário 2.83 produz uma delas — a que sair do completamento de base. O complemento ortogonal \(S^\perp\) (pontilhado) é apenas um entre eles, e é único; mas ele exige um produto interno (Definição 6.21).