Mudança de base de um operador: \([T]_{B'B'} = P^{-1}[T]_{BB}P\)
Seja \(T:V\to V\) linear e sejam \(B\), \(B'\) bases de \(V\). Pondo \(P = [I]_{BB'}\), vale \[[T]_{B'B'} = P^{-1}\,[T]_{BB}\,P.\]
A mudança de base como um desvio. Os quatro cantos são o mesmo \(\R^n\), com dicionários diferentes; a fórmula \(P^{-1}[T]_BP\) só diz que dá no mesmo traduzir, agir e destraduzir. Desenhado assim, ninguém erra a ordem dos fatores nem qual é a inversa.
Demonstração
Escreva \(T = \mathrm{Id}\circ T\circ\mathrm{Id}\) e aplique o Teorema 3.7 duas vezes, escolhendo as bases de modo a atravessar \(B\): \[[T]_{B'B'} = [\,\mathrm{Id}\,]_{B'B}\,[T]_{BB}\,[\,\mathrm{Id}\,]_{BB'} = [I]_{B'B}\,[T]_{BB}\,[I]_{BB'} = P^{-1}[T]_{BB}P.\]
thm-conj